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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 49

Sejam vec u e vec v vetores ortogonais e vec w = vec u ^^ (vec u ^^ vec v) . Prove que vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = ||vec u||^4 vec v .

Passo 1

Temos vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = (vec u . vec w) vec u - (vec u . vec u) vec w

Vamos substituir vec w = vec u ^^ (vec u ^^ vec v)

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = (vec u . (vec u ^^ (vec u ^^ vec v))) vec u - (vec u . vec u) (vec u ^^ (vec u ^^ vec v))

Mas vec u ^^ (vec u ^^ vec v) = (vec u . vec v) vec u - (vec u . vec u) vec v , então

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = (vec u . ((vec u . vec v) vec u - (vec u . vec u) vec v)) vec u - (vec u . vec u) ((vec u . vec v) vec u - (vec u . vec u) vec v)

Como vec u . vec v = 0 :

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = (vec u . (- (vec u . vec u) vec v)) vec u - (vec u . vec u) (- (vec u . vec u) vec v)

vec u . vec u = ||vec u||^2 , então:

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = (vec u . (- ||vec u||^2 vec v)) vec u - ||vec u||^2 (- ||vec u||^2 vec v)

Novamente, como vec u e vec v são ortogonais (independente do módulo deles – com vec v sendo multiplicado por - ||vec u||^2 - continuam sendo ortogonais)

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = 0 - ||vec u||^2 (- ||vec u||^2 vec v)

vec u ^^ (vec u ^^ vec w) = ||vec u||^4 vec v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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