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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios Propostos - Ex. 4

Sendo w → = ( u → + 2   v → ) ^ ( u → + v → ) , determine o ângulo dos vetores u → e v → , sabendo que u → = v → = w → = 2 e u → ⋅ v → < 0 .

Passo 1

Fala galera, tranquilo?

Para achar o ângulo entre os vetores vamos resolver o produto vetorial:

w → = ( u → + 2   v → ) ^ ( u → + v → )

Vamos relembrar as propriedades do produto vetorial pra facilitar:

u →   ^   v → = - ( v →   ^ u → )

( α u → )   ^   v → = α ( u →   ^   v → ) = u →   ^   ( α v → )

u →   ^ (   v →   ^   w → ) =   u →   ^   v →   + u →   ^   w →

Passo 2

Então:

( u → + 2   v → ) ^ ( u → + v → ) = u → ^ u →   + u → ^ v → + 2 v → ^ u → + 2 v → ^ v →

Como x → ^ x → = 0 , temos:

( u → + 2   v → ) ^ ( u → + v → ) =   u → ^ v → + 2 v → ^ u → =   - v → ^ u → + 2 v → ^ u → = v → ^ u →

Passo 3

Daí:

w → = | v → ^ u → |

| v → ^ u → | = 2 = | v → | ⋅ | u → | ⋅ s e n α = 2 ⋅ 2 ⋅ s e n α

2 = 2 ⋅ 2 ⋅ s e n α

s e n α = 1 2

Mas, como no enunciado temos que u → ⋅ v → < 0 então o cosseno do ângulo entre esses vetores é menor que zero, porque lembre:

c o s ∝ = u → ⋅ v → u → ⋅ v →

Então, se o o cosseno é negativo, o arco está no segundo quadrante, portanto o ângulo procurado é 150 ° , ou seja, 5 π 6 .

Fechou!! Vamos pra próxima??

Resposta

5 π 6

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