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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 15

Sendo Ω : 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 , determine os planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma cônica de distância focal 6 .

Passo 1

  1. Plano paralelo a x y : z = k .

    2. Assim,

    2 x 2 - y 2 + 4 k 2 = 1 ⟹ x 2 1 - 4 k 2 2 - y 2 1 - 4 k 2 = 1

    Assim,

    c 2 = 1 - 4 k 2 2 + 1 - 4 k 2 = 3 2 1 - 4 k 2

    O enunciado nos informa que 2 c = 6 ∴ c = 6 / 2 . Logo,

    6 4 = 3 2 1 - 4 k 2 ⟹ k = 0

    Também podemos ter:

    2 x 2 - y 2 + 4 k 2 = 1 ⟹ 4 k 2 - 1 = y 2 - 2 x 2 ⟹ y 2 4 k 2 - 1 - x 2 4 k 2 - 1 2 = 1

    ⟹ 4 k 2 - 1 + 1 2 4 k 2 - 1 = 6 4 ⟹ 3 2 4 k 2 - 1 = 3 2 ⟹ 4 k 2 = 2 ∴ k = ± 1 2

    Todas as soluções são z = 0 e z = ± 1 / 2 .

    Passo 2

  2. Plano paralelo a x z : y = k .

    3. Assim,

    2 x 2 - k 2 + 4 z 2 = 1 ⟹ x 2 k 2 + 1 2 + z 2 k 2 + 1 4 = 1

    Assim,

    c 2 = k 2 + 1 2 - k 2 + 1 4 = 1 4 k 2 + 1 ⟹ 6 4 = 1 4 k 2 + 1 ∴ k = ± 5

    Assim, temos dois planos possíveis: y = 5 e y = - 5 .

    Passo 3

  3. Plano paralelo a y z : x = k .

2 k 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 ⟹ 4 z 2 - y 2 = 1 - 2 k 2 ⟹ z 2 1 - 2 k 2 4 - y 2 1 - 2 k 2 = 1

Temos

c 2 = 1 - 2 k 2 4 + 1 - 2 k 2 = 5 4 1 - 2 k 2 ⟹ 6 4 = 5 4 1 - 2 k 2 ⟹ - 2 k 2 = 1

que não possui solução real.

Temos também,

2 k 2 - 1 = y 2 - 4 z 2 ⟹ 1 = y 2 2 k 2 - 1 - z 2 2 k 2 - 1 4

Portanto,

6 4 = 5 4 2 k 2 - 1 ⟹ 10 k 2 = 11 ∴ k = ± 11 / 10

Há duas soluções: x = ± 11 / 10 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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