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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 04

  1. Prove que elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é limitado.
  2. Generalize os conceitos de retângulo fundamental e coroa fundamental de uma elipse (capítulo 22 ) para o elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 .

Passo 1

  1. Notemos que y 2 b 2 + z 2 c 2 ≥ 0 . Assim, temos

    2. 0 ≤ y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 - x 2 a 2 ⟹ 0 ≤ 1 - x 2 a 2 ∴ x 2 a 2 ≤ 1

    x 2 ≤ a 2 ⟹ x ≤ a ∴ - a ≤ x ≤ a

    Da mesma forma, mostramos que

    - b ≤ y ≤ b

    - c ≤ z ≤ c

    Mostrando que Ω é limitado.

    Passo 2

  2. O retângulo fundamental é o retângulo de lados 2 a e 2 b (para a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ). Assim, podemos pensar para Ω em um paralelogramo de lados 2 a , 2 b e 2 c e centro 0 ,   0,0 .

    3. Passo 3

  3. A coroa fundamental da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b é dada por

b 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2

Da mesma forma, podemos pensar na “coroa fundamental” para o elipsoide:

min ⁡ a 2 ,   b 2 ,   c 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ max ⁡ a 2 ,   b 2 ,   c 2

Note que a “coroa fundamental” na verdade são esferas concêntricas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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