Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 11
Seja um hiperboloide de uma folha.
- Prove que, se , toda as elipses contidas como interseção de com planos paralelos a são semelhantes.
- Prove que, se varia em , as interseções de com o plano de equação são hipérboles semelhantes.
- Prove que, se varia na reunião dos intervalos e , as interseções de com planos de equação são hipérboles semelhantes.
- A que condições devem estar submetidos e para que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c)?
Passo 1
- Planos paralelos a são planos do tipo . Assim,
- Note que todas as etapas acima continuam válidas se .
- Note que todas as etapas acima continuam válidas se .
- Note que se tomarmos , a equação será válida para todo .
Assim, para , temos
o que é verdadeiro, mostrando que é semelhante.
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de π : x = 2 e P = - 2,0 , 0 , e identifique-o. Compare com a definição de parábola dada no Capítulo 22.
Prove que as equações abaixo descrevem paraboloides elípticos e esboce-os. x = y 2 a 2 + z 2 b 2 x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 y = x 2 a 2 + z 2 b 2 y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 z = - x 2 a 2 - y 2 b 2
Considere as selas Ω 1 : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 e Ω 2 : z = x 2 a 2 - y 2 b 2 . Como os segundos membros das equações são opostos um do outro, o esboço de Ω 2 pode ser obtido “virando de ponta-cabeça
Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações x = y 2 a 2 - z 2 b 2 x = - y 2 a 2 + z 2 b 2 y = x 2 a 2 - z 2 b 2 y = - x 2 a 2 + z 2 b 2 z = x 2 a 2 - y 2 b 2
Prove que o paraboloide hiperbólico Ω : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja Ω . No caso particular em que a = b = 1 , obtenha vetores dire