Sendo a , b e c números reais estritamente positivos tais que a + b + c = 1 , utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R 3 para provar que

1 a - 1 1 b - 1 1 c - 1 ≥ 8

Passo 1

Vamos lá!

1 a - 1 1 b - 1 1 c - 1 + 1 = 1 a b c - 1 a b - 1 a c - 1 b c + 1 a + 1 b + 1 c - 1 + 1

= 1 a b c - 1 a b - 1 a c - 1 b c + 1 a + 1 b + 1 c = 1 a b c - a + b + c a b c + 1 a + 1 b + 1 c

= 1 a + 1 b + 1 c =   1 a + 1 b + 1 c ( a + b + c ) ≥ 9

Note que nas duas últimas igualdades usamos o fato de a + b + c = 1 , beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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