Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 28
Determine equações da reta que passa por , cujo vetor diretor é ortogonal a e que seja concorrente com .
Passo 1
Pessoal, vamos começar escrevendo a reta de uma forma bem genérica
Assim, o vetor diretor dessa reta será . Temos que determinar e .
Como a reta passa pelo ponto , podemos dizer que isso ocorre quando . Nesse caso, temos . Logo, a equação paramétrica se reduz a
Passo 2
Além disso, a reta é concorrente a . Vamos reescrever essa segunda reta na forma paramétrica:
Quando duas retas são concorrentes, quer dizer que elas se encontram em um determinado ponto. Então, devemos ter um ponto comum às duas retas. Qualquer ponto pertencente a essa reta pode ser escrito como .
Passo 3
Vamos usar novamente a informação de que a reta passa por .
Então, existe um vetor que sai de até , que é ortogonal a e paralelo a reta que queremos determinar. Vamos calcular esse vetor:
Usando a condição de ortogonalidade com o vetor , obtemos
Isso quer dizer que a reta que procuramos intercepta a outra reta quando , ou seja, no ponto
e o vetor se torna
O vetor deve ser paralelo ao vetor diretor da reta que queremos determinar. Então
Não temos nenhuma restrição sobre esse fator de proporcionalidade, então podemos escolher sem nenhum problema. Assim, teremos
e
Resposta
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