Suponha que é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que também é uma base desse espaço.

Vamos também analisar a base . Se ela é base de então, todo vetor pode ser escrito da forma

Analisando a expressão que define o vetor vemos que eles podem ser escritos como combinações de vetores . Para ficar claro, podemos reorganizar a expressão da forma:

E podemos chamar como um vetor escrito como uma base de um sub-espaço dentro do espaço gerado por uma vez que tem elementos. Então também pertence a esse espaço. Logo:

Como é Linearmente Independente, também é. E como pode ser escrito como uma combinação de vetores do espaço gerado por e que também está nesse espaço, todo vetor também está nesse espaço gerado por .

Então também é base para o espaço gerado por

Pronto! Era isso que a questão pedia!