Suponha que { u 1 , … ,   u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.

Passo 1

Nessa questão, devemos utilizar da definição das bases para extrair alguma conclusão.

Se { u 1 , … ,   u n } é uma base de um espaço vetorial V , por exemplo, então todo vetor v ∈ V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores { u 1 , … ,   u n } tal que

v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n

v = ∑ i = 1 n α i u i

Sendo a i   um escalar real

Passo 2

Vamos também analisar a base { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } . Se ela é base de V então, todo vetor v ' pode ser escrito da forma

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 1 + u 2 + … + α n ' ( u 1 + u 2 + … + u n )

Passo 3

Analisando a expressão que define o vetor v ' vemos que eles podem ser escritos como combinações de vetores v . Para ficar claro, podemos reorganizar a expressão da forma:

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 1 + α 2 ' u 2 + … + α n ' u 1 + α n ' u 2 + … + α n ' u n - 1 + α n ' u n

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 2 + … + α n ' u n + α 2 ' u 1 + … + α n ' u n - 1

v ' = ∑ i = 1 n α i ' u i + ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

v ' = v + ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

E podemos chamar v ' ' como um vetor escrito como uma base de um sub-espaço dentro do espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } uma vez que tem n - 1 elementos. Então v ' ' também pertence a esse espaço. Logo:

v ' ' = ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

v ' = v + v ' '

Passo 4

Como { u 1 , … ,   u n } é Linearmente Independente, { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } também é. E como v ' pode ser escrito como uma combinação de vetores v do espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } e v ' ' que também está nesse espaço, todo vetor v ' também está nesse espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } .

Então u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n também é base para o espaço gerado por u 1 , … ,   u n }

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n também é base para o espaço gerado por u 1 , … ,   u n }

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