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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 16

Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita n e F ∈ L ( V ) . Se U é um sub-espaço de V de dimensão m e se U é invariante pelo operador F , mostrar que existe uma base de V em relação à qual a matriz de F é da forma

A B O C

Onde A é uma matriz m × m , B é do tipo m × ( n - m ) , O é a matriz nula n - m × m e C é quadrada de orden n - m .

Passo 1

Nessa questão, devemos utilizar da definição das matrizes de transformações lineares e da definição dos subespaços invariantes.

Um subespaço invariante U é um subespaço de V tendo um operador definido F : V → V , ou seja, L ( V ) pela nomenclatura do livro tal que L ( U ) ⊆ U .

Isso quer dizer que todo vetor que pertença a U terá sua transformação L ( v ) dentro do próprio subespaço U .

Passo 2

Agora que definimos um subespaço invariante, vamos estipular bases para os espaços V e U .

Vamos falar que a a base de U é { e 1 , e 2 , … , e m } tal que dim ⁡ U = m e que m ≤ n .

Assim, vamos tomar uma base para V sendo { e 1 , e 2 , … , e m , e m + 1 , e m + 2 , … , e n } tal que dim ⁡ V = n

Passo 3

Vemos que duas bases variam uma de 1 a m e outra de m + 1 a n . Essas bases serão:

e i       →           i = 1 , … ,   m

e λ       →           λ = m + 1 , … , n

Passo 4

Com as bases visualizadas, vamos usar do mecanismo de matrizes de transformação linear. Logo, pela definição do livro, temos:

L u j = ∑ i = 1 m α i j v i           ( j = 1,2 , … , n )

L e i = ∑ j = 1 m α i j e j + ∑ k = m + 1 n α i k e k

L e λ = ∑ j = 1 m α i j e j + ∑ k = m + 1 n α i k e k

Cada um dos termos α i j pode ser considerado como um elemento de uma matriz. Assim, temos

L e i = ∑ j = 1 m A m × m e j + ∑ k = m + 1 n D m × ( n - m ) e k

L e λ = ∑ j = 1 m B n - m × m e j + ∑ k = m + 1 n C n - m × ( n - m ) e k

Assim, formando a matriz A m × m B n - m × m D m × ( n - m ) C n - m × ( n - m )

As ordens das matrizes são dadas pelas dimensões dos vetores que tomamos quando fazemos L e i e L e λ .

Passo 5

Por hipótese, L ( U ) ⊆ U . Logo D m × ( n - m ) = 0   ∀   i , k . Logo, a matriz do operador linear é dada por:

F = A m × m B n - m × m O m × ( n - m ) C n - m × ( n - m )

Pronto! Terminamos a demonstração.

Resposta

F = A m × m B n - m × m O m × ( n - m ) C n - m × ( n - m )

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