Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 3c
(c) Suponha que o quadrilátero ABCD do item anterior seja um paralelogramo. Mostre que as quatro diagonais (as duas de ABCD e as duas de MNPQ) têm um ponto comum.
Passo 1
Bora lá!
Esse é o nosso quadrilátero ACBD (eventualmente reverso), onde M divide (A,B), N divide (C,B), P divide (C,D) e Q divide (A,D), todos na razão r:
Antes de matarmos esse exercício, vamos relembrar o que ele nos pede:
Mostre que as quatro diagonais (as duas de ABCD e as duas de MNPQ) têm um ponto comum.
Beleza? Então, partiu!
Passo 2
Sabemos que
Certo? Vamos abrir isso.
Seguindo o mesmo raciocínio
Dessa forma, podemos escrever
Portanto, ainda teremos sendo um paralelogramo, certo?
As duas diagonais só podem se encontrar em um ponto no paralelogramo: o ponto médos dos lados opostos, vamos verificar então que ponto médio de é igual ao ponto médio de dois pontos opostos de , beleza?
Pronto, estamos quase acabando 😉.
Passo 3
Agora, vem o pulo do gato. Vamos usar o fato que em um paralelogramo , temos que , onde é o ponto médio dos lados opostos, assim teremos que o ponto médio de , será:
Portanto, as diagonais do paralelogramo se encontram no mesmo ponto que as diagonais de . Logo, as quatro diagonais tem o ponto em comum.
FIM!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)