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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 28

Suponha que P 2 tenha o produto interno:

p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x

  1. Encontre p com p = 1 , p = x e p = x 2
  2. Encontre d p , q com p = 1 e q = x .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

p , p = ∫ - 1 1 p 2 d x

Quando p = 1 , temos que:

p , p = x - 1 1

p , p = 2

Logo:

p = 2

Quando p = x , temos que:

p , p = ∫ - 1 1 x 2 d x

p , p = x 3 3 - 1 1

p , p = 1 3 + 1 3 = 2 3

Logo:

p = 2 3

Para p = x 2 , temos que:

p , p = ∫ - 1 1 x 4 d x

p , p = x 5 5 - 1 1 = 1 5 + 1 5 = 2 5

Logo:

p = 2 5

Passo 2

A distância entre os dois pontos u e v é denotada por d u , v e é definida por:

d u , v = u - v

Temos então que:

d p , q = p - q

Como:

p - q = 1 - x

Temos que:

p - q 2 = ∫ - 1 1 1 - x 2 d x

p - q 2 = - 1 - x 3 3 - 1 1

p - q 2 = 0 - 8 3

p - q 2 = 8 3

Logo:

p - q = 8 3

Resposta

a )   p = 1 → p = 2

p = x → p = 2 3

p = x 2 → p = 2 5

b )   p - q = 8 3

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Em cada parte, use o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Em P 3 para calcular p , q . p = 1 - x + x 2 + 5 x 3 , q = x - 3 x 2 p = x - 5 x 3 , q = 2 + 8 x 2
Suponha que M 2 2 tenha o produto interno do E x e m p l o6 . Em cada parte, encontre A . A = - 2 35 6 A = 0 00 0
Em cada parte, calcule p , q usando o produto interno do E x e m p l o7 . p = - 2 + x + 3 x 2 ,q = 4 - 7 x 2 p = - 5 + 2 x + x 2 ,q = 3 + 2 x - 4 x 2
Em cada parte, esboce o círculo unitário em R 2 usando o produto interno dado. u , v = 1 4 u 1 v 1 + 1 16 u 2 v 2 u , v = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2
Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R 2 verificando a validade dos axiomas de produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u