Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 6

Repita o E x e r c í c i o 5 com o produto interno em R^2 gerado por [[[1],[2]] [[0],[- 1]]] .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

〈u , v〉 = v^T A^T A u

Sabendo que:

A^T A = [[[1],[0]] [[2],[- 1]]] [[[1],[2]] [[0],[- 1]]] = [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]]

Temos que:

〈u , v〉 = (- 1,1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[2],[1]])

〈u , v〉 = - 11

Passo 2

Item b:

〈v , w〉 = w^T A^T A v

Portanto:

〈v , w〉 = (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]])

〈v , w〉 = - 3

Passo 3

Item c:

Sabendo que:

〈u + v , w〉 = 〈u , w〉 + 〈v , w〉

Temos que:

〈u + v , w〉 = w^T A^T A u + w^T A^T A v

〈u + v , w〉 = (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[2],[1]]) + (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]])

〈u + v , w〉 = 3 - 3

〈u + v , w〉 = 0

Passo 4

Item d:

Temos que:

||v|| = sqrt(〈v , v〉)

Logo:

||v|| = sqrt(v^T A^T A v)

||v|| = sqrt((- 1 , 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]]))

||v|| = sqrt(1 0)

Passo 5

Item e:

Para o item e, temos que:

d (v , w) = ||v - w||

Resolvendo, temos que:

d (v , w) = sqrt(〈(v - w) , (v - w)〉)

d (v , w) = sqrt((v - w)^T A^T A (v - w))

Temos que:

v - w = ([[- 1],[1]]) - ([[0],[- 1]]) = ([[- 1],[2]])

d (v , w) = sqrt((- 1 , 2) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[2]]))

Ou seja:

d (v , w) = sqrt(17)

Passo 6

Item f:

Temos que:

||v - w||^2 = (d (v , w))^2

Como d (v , w) = sqrt(17) , temos que:

||v - w||^2 = sqrt(17)^2 = 1 7

Resposta

a ) 〈u , v〉 = - 11

b ) 〈v , w〉 = - 3

c ) 〈u + v , w〉 = 0

d ) ||v|| = sqrt(10)

e ) d (v , w) = sqrt(17)

f ) ||v - w||^2 = 1 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o subespaço W de R 3 gerado por v 1 = 1,0 , 0 ,v 2 = ( 0,1 , 1 ) e v 3 = ( 1 , - 1 , - 1 ) . Sendo , o produto interno canônico (a) Ache W ; (b) Exiba uma transformação linear T : R 3 → R 3
Dez pares de observações foram feitas das variáveis x e y , resultando no gráfico abaixo.Qual é a correlação entre as duas variáveis?Se as unidades do eixo-x fossem 10, 20 etc., qual seria a correlaçã
Os dados abaixo representam a produção de soja durante vários anos em um determinado terreno. Utilizando seus conhecimentos teóricos, experimentais e bom senso, faça uma previsão da produção em 1980 .
A definição de espaço vetorial complexo foi dada na primeira nota marginal da S e ç ã o4.1 çã . A definição de um produto interno complexo num espaço vetorial complexo V é idêntica à definição1 , exce
Use a Fórmula 4 para mostrar que u , v = 9 u 1 v 1 + 4 u 2 v 2 é o produto interno em R 2 gerado por A = 3 00 2 Use o produto interno da parte a para calcular u , v com u = - 3,2 e v = 1,7 .