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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 3

Suponha que M 22 tenha o produto interno U , V = t r U T V = t r V T U definido no Exemplo 6 da Seção 6.1. Descreva o complemento ortogonal do subespaço de

  1. Todas as matrizes diagonais.
  2. Todas as matrizes simétricas.

Passo 1

E aí...

Essa questão é mais teórica, mas não tem muito mistério... é só a gente obedecer o comando da questão que tá tudo certo.

Passo 2

A matriz é M 22 , ou seja tem duas linhas e duas colunas. E tem o produto interno U , V , montando as duas matrizes vai ficar:

U = u 1 u 2 u 3 u 4

V = v 1 v 2 v 3 v 4

Então fica:

U , V = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v 4

  1. Para ser uma matriz diagonal u 2 e u 3 tem que ser zero, então fica:

    2. U , V = u 1 v 1 + u 4 v 4

    E para que V seja complemento ortogonal do subespaço de todas as matrizes diagonais, V têm que ter zeros na diagonal principal, para que esse produto interno seja zero (condição para que ocorra o complemento ortogonal).

    Passo 3

  2. Para ser uma matriz simétrica u 2 tem que ser igual a u 3 , então fica:

U , V = u 1 v 1 + u 2 v 2 + v 3 + u 4 v 4

Para que V seja complemento ortogonal do subespaço de todas as matrizes simétricas, como u 1 e u 4 podem assumir qualquer valor, v 1 e v 4 têm que ser zero e v 2 = - v 3 , assim V tem que ser assimétrico.

E é só isso! Bye, bye.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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