Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 32
Prove que a Fórmula (4) é válida com quaisquer vetores e num espaço com produto interno .
Passo 1
Vamos começar usando a inequação de Cauchy-Schwarz nos vetores e .
Passo 2
Se considerarmos , temos
Passo 3
Vamos agora elevar os dois lados da inequação ao quadrado para desaparecer com o expoente fracionário
Como queríamos demonstrar.
Resposta
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21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + …
22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,v → 2 , … ,v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v
28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em r
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.