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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 2d

d. ( x , y , z , w ) , tais que x = 0 e y = - w ;

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se ( x , y , z , w ) , tais que x = 0 e y = - w é um subespaço de R^4 , para isso temos que saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) v , t in W , onde W = ( 0 , - w , z , w ) , então v + t in W e (0’) se v in W e alpha in R , então alpha v in W , além de overset(-)(0) in W .

Veja que se pegarmos dois vetores quaisquer, v = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) in W e t = (x_2 , y_2 , z_2 , w_2) in W , perceba que v + t = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) + (x_2 , y_2 , z_2 , w_2) = (x_1 + x_2 , y_1 + y_2 , z_1 + z_2 , w_1 + w_2) = (0 , - ( w_1 + w_2 ) , z_1 + z_2 , w_1 + w_2) in W . Desse modo, a operação soma está bem definida.

Agora, considere alpha in R e v = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) in W , implica que, alpha v = alpha (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) = (alpha x_1 , alpha y_1 , alpha z_1 , alpha w_1) = (0 , - alpha w_1 , alpha z_1 , alpha w_1) in W . Assim, a operação multiplicação por escalar está bem definida.

Resposta

W = ( 0 , - w , z , w ) é um subespaço vetorial de R^4 .

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