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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 10

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = { x , y ; x + 3 y = 0 }

Passo 1

Seguinte, jovem, são duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

No nosso subconjunto, x + 3 y = 0 , e então um vetor dele será ( - 3 y ,   y ) .

Passo 2

Vamos pegar dois vetores genéricos de S e testar as propriedades. Pega u = ( - 3 x ,   x ) e v = ( - 3 y ,   y ) . Vamos ver o que dá na soma deles.

u + v = - 3 x ,   x + - 3 y ,   y

u + v = - 3 x - 3 y ,   x + y

u + v = ( - 3 x + y ,   x + y )

Esse cara pertence ao subconjunto S , já que a primeira coordenada é igual à segunda multiplicada por - 3 . Beleza, vamos pra multiplicação por escalar agora.

Passo 3

Continua com o nosso vetor v e agora vamos multiplicar pelo escalar α .

α v = α - 3 y ,   y

α v = - 3 α y , α y

Esse também está no subconjunto! Então fechou, como as duas propriedades funcionam, esse subconjunto é um subespaço vetorial.

Resposta

É um subespaço vetorial.

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