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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 48d

Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i →

d) u → - v →

Passo 1

Vamos primeiro ver quem são os nossos vetores:

i → = ( 1,0 )

u → - v → = i → - j → - 2 i → + j → = - i → - 2 j → = ( - 1 , - 2 )

Como a questão pede para determinar o módulo e o ângulo que o nosso vetor forma com o vetor i → , temos que lembrar como calculamos esse módulo e o ângulo:

O módulo do vetor se calcula desse jeito aqui

u → + v → = x 2 + y 2

E o ângulo entre vetores é calculado a partir dessa fórmula:

c o s θ = u → ⋅ i → u → | i → |    

E só um último bizu antes de começarmos a botar a mão na massa é lembrar como fazemos esse produto escalar!

u → ⋅ i → = x u * x i + y u * y i

Passo 2

Vamos começar calculando os módulos de u → e i →

u → + v → = - 1 2 + ( - 2 ) 2

| u → + v → | = 5

Então aqui já temos a primeira parte da nossa resposta!

i → = 1 2 + 0 2

i → = 1

Passo 3

Agora vamos achar o produto escalar u → ⋅ i →

u → ⋅ i → = ( - 1 ) * 1 + - 2 * 0

u → ⋅ i → ´ = - 1

Passo 4

Por último, é só juntar tudo que a gente achou na fórmula do c o s θ

c o s θ = - 1 5

Como esse não é nenhum cosseno conhecido, vamos fazer arcoseno dos dois lados, ficando com:

a r c o s ( c o s θ ) = a r c o s - 1 5

θ ≅ 117 °

Resposta

u → - v → = 5

θ ≅ 117 °

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Determine os vetores unitários u → = x , y ,z B tais que a projeção ortogonal de u → sobre k → seja k → / 2 e a medida angular entre v → = x ,y ,0 B e i → seja π / 6 radianos.
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