3. Sabendo que u * (v xx w) = 2 , calcular

a) u * (w xx v)

b) v * (w xx u)

c) (v xx w) * u

d) (u xx w) * (3 v)

e) u * (2 w xx v)

f) (u + v) * (u xx w)

Passo 1

(f) Nessa questão vamos usar duas propriedades de produto misto:

- O produto misto (vec u , vec v , vec w) muda se sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.

- (vec u + vec x , vec v , vec w) = (vec u , vec v , vec w) + (vec x , vec v , vec w)

Mas como somos espertos, já sabemos que:

(vec u , vec v , vec w) = vec u * (vec v xx vec w)

São só formas diferentes de escrever a mesma coisa.

Então podemos representar por:

(vec u + vec v) * (vec u xx vec w) = (vec u + vec v , vec u , vec w)

Passo 2

Aplicando a segunda propriedade:

(vec u + vec v , vec u , vec w) = (vec u , vec u , vec w) + (vec v , vec u , vec w)

Putz... dessa nós não vimos ainda, mas na observação tem: se dois deles forem paralelos, então o determinante é igual a zero. Então:

(vec u , vec u , vec w) = 0

Como (vec u , vec v , vec w) = 2 , então repare que se trocarmos u e v de posição, ficamos com:

(vec v , vec u , vec w) = - 2

Então:

(vec u + vec v , vec u , vec w) = 0 + (- 2)

(vec u + vec v , vec u , vec w) = - 2

(u + v) * (u xx w) = - 2

Resposta

(u + v) * (u xx w) = - 2

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