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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 4

Sejam v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v m vetores fixados em R n e T   :   R n   →   R m a função definida por T ( x )   =   ( x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m ) , em que x   ·   v i é o produto interno euclidiano de R n .

  1. Mostre que T é uma transformação linear.

  2. Mostre que a matriz canônica de T tem vetores coluna v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v m .

Passo 1

  1. Vamos lá! Sendo nosso operador dado por:

    T ( x )   =   ( x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m )

    Vamos testar um axioma da homogeneidade:

    T k v = k T ( v )

    Vamos fazer parte por parte e comparar nossos resultados:

    T k v =     x   ·   v 1 ⋅ k ,   x   ·   v 2 ⋅ k ,   .   .   .   ,   x   ·   v m ⋅ k = k ( x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m )

    k T v = k ⋅ ( x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m )

    T k v = k T ( v )

    Vamos testar um axioma da aditividade:

    T v + u = T v + T ( u )

    T v + u =     x   ·   ( v 1 + u 1 ) ,   x   · v 2 + u 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   ( v m + u m )

    T v + T u = x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m + ( x   ·   u 1 ,   x   ·   u 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   u m )

    Logo:

    T v + u = T v + T ( u )

    Assim nosso T ( v ) é operador linear.

    Passo 2

Vamos usar o teorema 1.8 . 2 , sendo uma nossa transformação uma matriz injetora tal que,

T   :   R n   →   R m , nós teremos uma matriz canônica.

T x =   x   ·   v 1 ,   x   ·   v 2 ,   .   .   .   ,   x   ·   v m = A ⋅ x

Assim temos:

T x = v 1 v 2 ⋮ v m ⋅ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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