Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26e
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de .
Passo 1
Pra termos um subespaço, o subconjunto precisa atender duas condições:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
E isso vale tanto pra vetores quanto pra matrizes! As propriedades de subespaço são iguaizinhas pra um e pra outro. Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence. Vamos pegar duas matrizes desse subconjunto e testar as propriedades:
Passo 2
A soma vai ser:
Pô, ficou quase perfeito, mas aquele termo da primeira linha e segunda coluna ficou , não . Daí a matriz soma não está no subconjunto. Isso quer dizer que não vale a primeira propriedade, e então já era, não temos um subespaço.
Passo 3
Vamos ver a segunda também: bora multiplicar por um escalar .
Pô, aconteceu a mesma coisa, aquele termo que era pra ser ficou , então a não ser que , essa matriz não tá no subconjunto. Como não atendeu nenhuma das duas, o subconjunto não é subespaço.
Resposta
Não é subespaço.