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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26d

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a a + b a - b b ,   a , b ∈ R

Passo 1

Vamos lembrar mais uma vez das propriedades de subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Isso vale pra vetores e matrizes! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence. Vamos começar pegando duas matrizes genéricas de S pra testar as propriedades.

M = a a + b a - b b

N = c c + d c - d d

Passo 2

A matriz soma vai ser:

M + N = a a + b a - b b + c c + d c - d d

M + N = a + c a + b + c + d a - b + c - d b + d

Rearrumando:

M + N = a + c a + c + ( b + d ) a + c - ( b + d ) b + d

Olha aí, tá certinha no formato das matrizes do subconjunto, então a matriz soma também está nele!

Passo 3

Vamos testar a segunda propriedade, multiplicando por um escalar α :

α M = α a a + b a - b b

α M = α a α a + α b α a - α b α b

Bom, continuou no formato, né? Então essa propriedade também vale. Se valem as duas, é um subespaço vetorial!

Resposta

É um subespaço.

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