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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 1c

1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.

  1. Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = a u ,   b u ,   c u ,     b u = a u + c u

e

v = a v ,   b v ,   c v ,     b v = a v + c v

Quando somamos eles:

u + v = a u ,   b u ,   c u + a v ,   b v ,   c v

u + v = a u + a v ,   b u + b v ,   c u + c v

Vamos ver se a componente que está no meio continua sendo a soma das duas outras componentes. Sabemos o valor de b u e de b v :

b u + b v = a u + c u + a v + c v

b u + b v = a u + a v + c u + c v

b u + b v = a u + a v + c u + c v

Esse vetor está na forma que o enunciado pediu, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição. Tomando um vetor qualquer:

u = a u ,   b u ,   c u ,     b u = a u + c u

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ a u ,   b u ,   c u

k u = k a u ,   k b u ,   k c u

Vamos ver se a componente que está no meio continua sendo a soma das duas outras componentes. Sabemos o valor de b u :

k b u = k ⋅ a u + c u

k b u = k a u + k c u

Que continua sendo um vetor na forma desejado, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que os vetores da forma a ,   b ,   c , com b = a + c , formam um subespaço vetorial de R 3 .

Resposta

É um subespaço vetorial de R 3 .

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Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.b) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 com a0+a1+a2+a3=0.
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Quais dos seguintes são combinações lineares de A = 4 0 - 2 - 2, B = 1 - 1 2 3 , C = 0 2 1 4 6 - 8 - 1 - 8 0 0 0 0 6 0 3 8 - 1 5 7 1
Determine se o espaço solução do sistema A x = 0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações p
Expresse os seguintes como combinações lineares de u = ( 2 ,1 ,4 ) , v = ( 1 ,- 1 ,3 ) e w = ( 3 ,2 ,5 ) ? ( - 9 ,- 7 ,- 15 ) ( 6 ,11 ,6 ) 0 ,0 ,0 ( 7 ,8 ,9 )