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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 1d

1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.

  1. Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c+1.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = a u ,   b u ,   c u ,     b u = a u + c u + 1

e

v = a v ,   b v ,   c v ,     b v = a v + c v + 1

Quando somamos eles:

u + v = a u ,   b u ,   c u + a v ,   b v ,   c v

u + v = a u + a v ,   b u + b v ,   c u + c v

Vamos ver se a componente que está no meio continua sendo a soma das duas outras componentes. Sabemos o valor de b u e de b v :

b u + b v = a u + c u + 1 + a v + c v + 1

b u + b v = a u + a v + c u + c v + 2

b u + b v = a u + a v + c u + c v + 2

Esse vetor não está mais na forma que o enunciado pediu, pois temos um 2 somando e deveria ser o número 1 .

Ou seja, o conjunto formado por esses vetores não formam um subespaço.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de R 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

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Em cada parte, expresse o vetor como uma combinação linear de p 1 = 2 + x + 4 x 2 , p 2 = 1 - x + 3 x 2 e p 3 = 3 + 2 x + 5 x 2 ? - 9 - 7 x - 15 x 2 6 + 11 + 6 x 2 0 7 + 8 x + 9 x 2
Quais dos seguintes são combinações lineares de u = ( 0 ,- 2 ,2 ) e v = ( 1 ,3 ,- 1 ) ? ( 2 ,2 ,2 ) ( 3 ,1 ,5 ) 0 ,4 ,5 ( 0 ,0 ,0 )
Em cada parte, determine se os vetores dados geram R 3 . v 1 = 2 ,2 ,2 ,v 2 0 ,0 ,3 ,v 3 ( 0 ,1 ,1 ) . v 1 = 2 ,- 1 ,3 ,v 2 4 ,1 ,2 ,v 3 ( 8 ,- 1 ,8 ) v 1 = 3 ,1 ,4 ,v 2 2 ,- 3 ,5 ,v 3 5 ,- 2 ,9 ,v 4
Seja f = cos 2 ⁡ x e g = sin 2 ⁡ x . Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g ? cos ⁡ 2 x 3 + x 2 1 sin ⁡ x 0
Sejam v 1 = 2 ,1 ,0 ,3 ,v 2 = 3 ,- 1 ,5 ,2ev 3 = ( - 1 ,0 ,2 ,1 ) . Em cada parte decida se o vetor está em g e r { v 1 ,v 2 ,v 3 } . ( 2 ,3 ,- 7 ,3 ) . ( 0 ,0 ,0 ,0 ) ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ( - 4 ,6 ,- 13 ,4