1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.

  1. Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c+1.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = a u ,   b u ,   c u ,     b u = a u + c u + 1

e

v = a v ,   b v ,   c v ,     b v = a v + c v + 1

Quando somamos eles:

u + v = a u ,   b u ,   c u + a v ,   b v ,   c v

u + v = a u + a v ,   b u + b v ,   c u + c v

Vamos ver se a componente que está no meio continua sendo a soma das duas outras componentes. Sabemos o valor de b u e de b v :

b u + b v = a u + c u + 1 + a v + c v + 1

b u + b v = a u + a v + c u + c v + 2

b u + b v = a u + a v + c u + c v + 2

Esse vetor não está mais na forma que o enunciado pediu, pois temos um 2 somando e deveria ser o número 1 .

Ou seja, o conjunto formado por esses vetores não formam um subespaço.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de R 3 .

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