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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 17

Nos exercícios 17-18, determine se os planos são perpendiculares.

3 x - y + z - 4 = 0

x + 2 z = - 1

Passo 1

Vamos fazer um esboço dos planos perpendiculares

Para que os planos sejam perpendiculares, então os vetores diretores devem ser perpendiculares também. Pelo Teorema 3.3.1(b), um plano pode ser definido pelo vetor n → = ( a , b , c ) e pela equação

a x + b y + c z + d = 0

Ou seja, só de olhar para a equação do plano já temos o vetor diretor.

Passo 2

Observando as equações podemos pegar os vetores diretores. Primeiro vamos organizar as equações:

3 x - y + z - 4 = 0 ⇒ O r g a n i z a n d o 3 x - 1 y + 1 z - 4 = 0

x + 2 z = - 1 ⇒ O r g a n i z a n d o 1 ⋅ x + 0 ⋅ y + 2 z + 1 = 0

O número que multiplica o x é a componente x do vetor, e assim por diante:

3 x - y + z - 4 = 0 ⇒ n → 1 = 3 , - 1 , 1

x + 0 ⋅ y + 2 z + 1 = 0 ⇒ n → 2 = ( 1,0 , 2 )

Passo 3

Sabemos que para que dois vetores sejam perpendiculares o produto interno entre eles deve ser igual a zero. Então, vamos multiplicar os vetores:

n → 1 ⋅ n → 2 = 3 , - 1,1 ⋅ 1,0 , 2

n → 1 ⋅ n → 2 = 3 ⋅ 1 + - 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2

n → 1 ⋅ n → 2 = 3 + 2

n → 1 ⋅ n → 2 = 5

Como o produto escalar dos vetores diretores é diferente de zero, então os planos não são perpendiculares.

Resposta

Os planos não são perpendiculares

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