Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 7b
Utilizar a inversão de matrizes para mostrar que:
A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.
Passo 1
A questão pede para acharmos a inversa de uma dilatação ao longo de um eixo. Por simplicidade, vamos tomar o eixo :
Assim, a matriz de transformação é
Note que , logo a transformação admite inversa!
Passo 2
Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes :
Assim,
Note que essa matriz representa exatamente uma contração em longo do eixo . Assim, a inversa de uma dilatação é uma contração!
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Determinar um vetor unitário do R 3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço w={ ( 1,2 , - 1 ) ,( - 1,0 , 2 ) } .
Seja g 1 , … , g n um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são ortogonais dois a dois. Prove que ∑ i = 1 n g i 2 = ∑ i - 1 n g i 2 (teorema de Pitágoras generalizado).
Em P 2 ( R ) com o produto interno usual,Ortonormalizar a base { 1,1 + t , 2 t 2 } .Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] .
Determinar um polinômio de grau 3 em P 3 ( R ) que seja ortogonal a 1 , t , t 2 com relação ao produto interno definido no início deste capítulo como exemplo 2.
Determinar uma base ortonormal do subespaço W do R 3 dado por W = x , y , z ∈R 3 x - y = 0 }