Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:

A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.

Passo 1

A questão pede para acharmos a inversa de uma dilatação ao longo de um eixo. Por simplicidade, vamos tomar o eixo x :

x , y → ( α x , y )

Assim, a matriz de transformação é

T = α 0 0 1

Note que det ⁡ T = α ≠ 0 , logo a transformação admite inversa!

Passo 2

Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

T - 1 = 1 α 1 0 0 α = 1 α 0 0 1

Note que essa matriz representa exatamente uma contração em longo do eixo x . Assim, a inversa de uma dilatação é uma contração!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados