Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 18
Seja um operador linear. Prove que é injetor se, e só se,
Passo 1
Suponha que é invertível. Então deve existir uma transformação linear em que respeite a relação:
Vamos aplicar o determinante:
Vamos separar em dois determinantes:
Para que isso seja verdade, então e . Então, se tivermos um conjunto que seja base de , então o . E isso implica que é invertível.
Pelo Teorema 8.4.2 diz que se é invertível, então é injetor.
Com isso, demonstramos que é injetor.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Seja W = U ⊕ V . Consideremos os operadores lineares de W (projeções sobre U e V , respectivamente) dados por P 1 u + v = u e P 2 u + v = v , ∀ u + v ∈ W , com u ∈ U e v ∈ V . Definido por H : W → W p
Considere uma transformação linear T : U → V . Provar que, se o conjunto T u 1 , … , T u r é LI em V , então u 1 , … , u r é LI em U . Provar que, se T é injetora e u 1 , … , u r é LI em U , então T u
Consideremos o espaço vetorial R ∞ = a 1 , a 2 , … | a i ∈ R .Mostrar que a transformação linear T : R ∞ → R ∞ dada por T a 1 , a 2 , … = 0 , a 1 , a 2 , … é injetora mas não é sobrejetora.Mostrar que
Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão donúcleo e da imagem:(a) F :R 3 → R dada por F x ,y ,z = x + y - z .(b) F :R 2 → R 2 dada por Fx ,y = 2 x ,x + y .(c)
17. Suponha que T : V → V seja um operador linear e B uma base de V tal que T x B = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3 se x B = x 1 x 2 x 3 Encontre T B .