Seja T : V → V um operador linear. Prove que T é injetor se, e só se, det ⁡ T ≠ 0

Passo 1

Suponha que T é invertível. Então deve existir uma transformação linear T - 1 em V que respeite a relação:

T - 1 T = I = ( T T - 1 )

Vamos aplicar o determinante:

det ⁡ T T - 1 = det ⁡ I

det ⁡ T T - 1 = 1

Vamos separar em dois determinantes:

det ⁡ T det ⁡ T - 1 = 1

Para que isso seja verdade, então det ⁡ T ≠ 0 e det ⁡ T - 1 ≠ 0 . Então, se tivermos um conjunto B que seja base de V , então o det ⁡ T B ≠ 0 . E isso implica que T B é invertível.

Pelo Teorema 8.4.2 diz que se T B é invertível, então T é injetor.

Com isso, demonstramos que T   é injetor.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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