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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 7

Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora.

  1. T : R m → R m ; n u l T = 0 .
  2. T : R n → R n : p o s T = n - 1 .
  3. T : R m → R n ; n < m .
  4. T : R n → R n ; R T = R n .

Passo 1

A gente viu que de acordo com o Teorema 8.2.1 que se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetora.
  2. N u c T = { 0 } .

Então precisamos verificar em cada item, se   N u c T = { 0 } ou de forma equivalente, se n u l T = 0 .

Passo 2

Na letra (a), eles já deram pra gente que n u l T = 0 , então sim, nossa transformação é injetora.

Passo 3

Na letra (b), temos T : R n → R n : p o s T = n - 1 , logo pelo Teorema 8.1.4

p o s T + n u l T = n ⇒ n - 1 + n u l T = n

n u l T = 1

Portanto, n u l T ≠ 0 , então a transformação não é injetora.

Passo 4

Na letra (c), T : R m → R n ; n < m e o contradomínio dado é R n , como a imagem está contida no contradomínio, a dimensão máxima que ele pode atingir é n . Então o valor máximo para p o s ( T ) é n . Então supondo que temos a dimensão máxima para p o s ( T )

p o s T + n u l T = m ⇒ n + n u l T = m

n u l T = m - n

Como temos que n < m , a subtração m - n é maior que 0 . E n u l T = m - n > 0 , portanto n u l T ≠ 0 e nossa transformação não é injetora.

Passo 5

Na letra (d), T : R n → R n ; R T = R n , ou seja, quando ele diz que R T = R n , ele quer dizer que a transformação tem como imagem todo o R n , então p o s T = n e pelo Teorema

p o s T + n u l T = n ⇒ n + n u l T = n

n u l T = 0

Portanto nossa transformação também é injetora.

Resposta

  1. É injetora.
  2. Não é injetora.
  3. Não é injetora.
  4. É injetora.
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