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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 2

Quais das transformações do Exercício 1 são sobre.

  1. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( y ,   x ) .
  2. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( 0 ,   2 x + 3 y ) .
  3. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( x + y ,   x - y ) .
  4. T : R 2 → R 3 , com T x ,   y = ( x ,   y ,   x + y ) .
  5. T : R 2 → R 3 , com T x ,   y = ( x - y ,   y - x ,   2 x - 2 y ) .
  6. T : R 3 → R 2 , com T x ,   y ,   z = ( x + y + z ,   x - y - z ) .

Passo 1

Show de bolinhas galera, de acordo com a Definição 2, “Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial W , dizemos que T é um transformação sobrejetora ou, simplesmente, sobre W , se qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V .” Ou seja, dado o contradomínio W , a transformação é sobrejetora quando a dimensão da imagem é igual a dimensão de W . Como no exercício 1, já descobrimos o valor da nulidade das transformações, e usando do Teorema 8.1.4 que traz a Equação 7, p o s T + n u l T = n , podemos descobrir o posto de T e conferir se a dimensão é igual do contradomínio.

Passo 2

Na letra (a) temos T : R 2 → R 2 , dado que n u l T = 0 e o contradomínio é R 2 temos que

p o s T + 0 = 2 ⇒ p o s T = 2

Portanto a dimensão do posto de T é igual a dimensão de R 2 , logo T é sobrejetora.

Passo 3

Na letra (b) temos T : R 2 → R 2 , dado que n u l T = 1 e o contradomínio é R 2 temos que

p o s T + 1 = 2 ⇒ p o s T = 1

Portanto a dimensão do posto de T é diferente da dimensão de R 2 , logo T não é sobrejetora.

Passo 4

Na letra (c) temos T : R 2 → R 2 , dado que n u l T = 0 e o contradomínio é R 2 temos que

p o s T + 0 = 2 ⇒ p o s T = 2

Portanto a dimensão do posto de T é igual a dimensão de R 2 , logo T é sobrejetora.

Passo 5

Na letra (d) temos T : R 2 → R 3 , dado que n u l T = 0 e o contradomínio é R 3 temos que

p o s T + 0 = 2 ⇒ p o s T = 2

Portanto a dimensão do contradomínio é 3 e posto de T é 2, logo T não é sobrejetora.

Passo 6

Na letra (e) temos T : R 2 → R 3 , dado que n u l T = 1 e o contradomínio é R 3 temos que

p o s T + 1 = 2 ⇒ p o s T = 1

Portanto a dimensão do contradomínio é 3 e posto de T é 1 , logo T não é sobrejetora.

Passo 7

Na letra (f) temos T : R 3 → R 2 , dado que n u l T = 1 e o contradomínio é R 2 temos que

p o s T + 1 = 3 ⇒ p o s T = 2

Portanto a dimensão do posto de T é igual a dimensão de R 2 , logo T é sobrejetora.

Resposta

  1. T é sobrejetora.
  2. T   não é sobrejetora.
  3. T é injetora sobrejetora.
  4. T   não é sobrejetora.
  5. T   não é sobrejetora.
  6. T   é sobrejetora.
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