Mostrar que os vetores v_1 = ( 1 , 1 , 1 ) , v_2 = ( 0 , 1 , 1 ) e v_3 = ( 0 , 0 , 1 ) geram o R^3 .

Passo 1

A idéia aqui é igual à da questão anterior. O que a gente precisa saber é que pra n vetores de componentes ( a_1 , a_2 , ... , a_n ) formarem o R^n , todos eles têm que ser L I . Sacpou? Pega a base canônica do R^3 por exemplo: são os vetores ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) . Daí, temos 3 vetores necessários pra formar o espaço, todos eles L I , sacou?

Passo 2

Show de bola, isso aí vai acontecer no R^3 também, até porque se vale pra um caso geral, vai valer pro particular. Vamos precisar de 3 vetores da forma ( x , y , z ) , todos L I , pra gerar o R^3 . Nos vetores da questão a gente já tem quase tudo: três vetores de três componentes cada. Se eles forem L I , fechou! Bora lá. Ser L I significa que a única combinação linear que leva no vetor nulo é a que tem todos os coeficientes nulos. Joga isso na continha!

a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0

a (1 , 1 , 1) + b (0 , 1 , 1) + c ( 0 , 0 , 1 ) = (0 , 0 , 0)

Isso gera o sistema:

{[[a = 0],[a + b = 0],[a + b + c = 0]])

Da primeira equação, a = 0 . Substituindo na segunda, encontramos b = 0 , e na terceira, obtemos c = 0 . Era isso que a gente queria! Se ele são L I , garantimos que geram o R^3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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