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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 41

Mostrar que os vetores v_1 = ( 1 , 1 , 1 ) , v_2 = ( 0 , 1 , 1 ) e v_3 = ( 0 , 0 , 1 ) geram o R^3 .

Passo 1

A idéia aqui é igual à da questão anterior. O que a gente precisa saber é que pra n vetores de componentes ( a_1 , a_2 , ... , a_n ) formarem o R^n , todos eles têm que ser L I . Sacpou? Pega a base canônica do R^3 por exemplo: são os vetores ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) . Daí, temos 3 vetores necessários pra formar o espaço, todos eles L I , sacou?

Passo 2

Show de bola, isso aí vai acontecer no R^3 também, até porque se vale pra um caso geral, vai valer pro particular. Vamos precisar de 3 vetores da forma ( x , y , z ) , todos L I , pra gerar o R^3 . Nos vetores da questão a gente já tem quase tudo: três vetores de três componentes cada. Se eles forem L I , fechou! Bora lá. Ser L I significa que a única combinação linear que leva no vetor nulo é a que tem todos os coeficientes nulos. Joga isso na continha!

a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0

a (1 , 1 , 1) + b (0 , 1 , 1) + c ( 0 , 0 , 1 ) = (0 , 0 , 0)

Isso gera o sistema:

{[[a = 0],[a + b = 0],[a + b + c = 0]])

Da primeira equação, a = 0 . Substituindo na segunda, encontramos b = 0 , e na terceira, obtemos c = 0 . Era isso que a gente queria! Se ele são L I , garantimos que geram o R^3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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vec u = ( 1 , - 1 , 3 ) pode ser escrito como combinação linear de vec v = (- 1 , 1 , 0) , vec w = (2 , 3 , (1)/(3)) ?
Sendo u → = 1 ,- 1 ,3 ,v → = 2 ,1 ,3 ,w → = ( - 1 ,- 1 ,4 ) , determine a tripla de coordenadas de:a) u → + v → b) u → - 2 v → c) u → + 2 v → - 3 w →
Seja E = ( vec e_1 , vec e_2 , vec e_3 ) uma base. Sabendo que (x , y , x - y)_E = (x^2 , y^2 , x + y)_E , calcule x^2 + y^2 - x .
Determine m e n tais que ( vec u , vec v ) seja LD, sendo vec u = ( 1 , m , n + 1 ) e vec v = ( m , n , 10 ) .
Verifique se vec u e vec v são LI ou LD.a) vec u = (0 , 1 , 0) , vec v = ( 1 , 0 , 1 ) b) vec u = (0 , 11 , 1) , vec v = ( 0 , - 22 , - 2 ) c) vec u = (0 , 1 , 1) , vec v = ( 0 , 3 , 1 ) d) vec u = (1