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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 46a

Verificar se são colineares os pontos:

A (- 1 , - 5,0) , B (2,1 , 3) e C (- 2 , - 7 , - 1)

Passo 1

Vamos lá, pontos são colineares quando eles pertencem a uma mesma reta, além disso para os pontos serem colineares os vetores que formam com esses pontos, aqui vec A B e vec B C , devem ser paralelos entre si, vamos então ver se eles são paralelos, se forem, eles são colineares.

Passo 2

Vamos lá, temos que dois vetores vec a = (x_1 , y_1 , z_1) e vec b = (x_2 , y_2 , z_2) são paralelos se existe um número real alpha tal que vec a = alpha vec u , ou seja:

vec a = alpha vec u -> (x_1 , y_1 , z_1) = alpha (x_2 , y_2 , z_2) -> (x_1 , y_1 , z_1) = (alpha x_2 , alpha y_2 , alpha z_2)

Pronto, podemos então comparar cada coordenada:

x_1 = alpha x_2

y_1 = alpha y_2

z_1 = alpha z_2

Disso podemos tirar que:

(x_1)/(x_2) = (y_1)/(y_2) = (z_1)/(z_2) = alpha

Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais, assim temos:

vec A B = alpha vec B C

Passo 3

Vamos então ter que analisar vec A B e vec B C :

vec A B = B - A = (2,1 , 3) - (- 1 , - 5,0) = (2 + 1,1 + 5,3 - 0) = (3,6 , 3)

vec B C = C - B = (- 2 , - 7 , - 1) - (2,1 , 3) = (- 2 - 2 , - 7 - 1 , - 1 - 3) = (- 4 , - 8 , - 4)

Agora sim vamos analisar vec A B com vec B C :

(x_1)/(x_2) = (3)/(- 4) = - (3)/(4)

(y_1)/(y_2) = (6)/(- 8) = - (3)/(4)

(z_1)/(z_2) = (3)/(- 4) = - (3)/(4)

Passo 4

Vamos então igualar as expressões para ver se elas dão um só resultado:

(x_1)/(x_2) = (y_1)/(y_2) = (z_1)/(z_2) = alpha -> - (3)/(4) = - (3)/(4) = - (3)/(4) = alpha

Pronto, temos então que suas componentes são proporcionais, assim os vetores são paralelos e os pontos são colineares.

Resposta

Os pontos são colineares.

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