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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.1 - Ex. 24

Determine uma equação da maior esfera com centro em ( 5,4 , 9 ) contida no primeiro octante.

Passo 1

Sabemos que a equação de uma esfera é da forma x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2 , onde o centro é dado pelo ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Bom, nossa questão já nos deu o ponto de centro, só precisamos encontrar o maior raio possível para essa esfera que faça com que ela permaneça no primeiro octante.

Vamos pensar um pouquinho... precisamos analisar a distância do centro até cada um dos planos ( x y , y z   e   x z ) .

A distância do centro ao plano x y é igual a coordenada z do plano, portanto 9 .

A distância do centro ao plano y z é igual a coordenada x do plano, portanto 5.

E a distância do centro ao plano x z é igual a coordenada y do plano, portanto 4.

Agora a sacada é que o raio será igual a menor dessas distâncias, pois se for maior ela cortará o plano e não estará mais no primeiro octante.

Assim, vemos que a menor distância é 4 , então esse é nosso raio. Então nossa esfera será:

x - 5 2 + y - 4 2 + z - 9 2 = 16

Resposta

x - 5 2 + y - 4 2 + z - 9 2 = 1 6

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