Enunciado

Determinar o subespaço G ( A ) para A = { 1 ,   - 2 ,   - 2 ,   4 } . O que representa geometricamente esse subespaço?

Passo 1

Meu jovem, repara no seguinte: os dois vetores que estão ali na definição de A são essencialmente “o mesmo” vetor, porque - 2 ,   4 = - 2 ( 1 ,   - 2 ) . Claro, eles são diferentes, mas no quesito “gerar subespaços”, eles são equivalentes, porque mexemos com combinações lineares deles. Por isso, queremos basicamente o espaço gerado por ( 1 ,   - 2 ) .

Passo 2

O espaço gerado pelo vetor ( 1 ,   - 2 ) são todas as combinações lineares dele. No caso, como só tem um vetor, vai ser só a multiplicação dele por um escalar. Um vetor desse subespaço é dado por:

x ,   y = k 1 ,   - 2

Isso gera um sisteminha:

x = k y = - 2 k

Daqui a gente pode escrever uma coordenada em função da outra, eliminando o k .

y = - 2 x

Essa é a equação do nosso subespaço!

x , y ∈ R 2 ; y = - 2 x

Isso representa uma reta que passa pela origem.

Resposta

x , y ∈ R 2 ; y = - 2 x

É uma reta que passa pela origem.

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