Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 38
O plano contém , e , o plano contém e é paralelo a e , e o plano tem equação .
a) Obtenha equações gerais dos três planos.
b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o.
Passo 1
a) Vamos começar pelo plano . Ele contém os pontos e , logo, tem como vetores diretores e , certo?
Como queremos equações gerais, precisamos de um vetor normal desse plano, que vai ser o produto vetorial entre e :
Então, a equação desse plano tem o formato:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto nessa equação:
Então a equação é:
Passo 2
Se o plano é paralelo a e , seu vetor normal vai ser o produto vetorial:
Então a equação geral desse plano é escrita assim:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto nessa equação:
Assim:
Passo 3
Para , sabemos seus vetores diretores, então podemos encontrar seu vetor normal pelo produto vetorial:
Então a equação desse plano é escrita assim:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto da equação vetorial do plano:
Então, a equação do plano é
Passo 4
b) Para encontrarmos a intersecção dos 3 planos, vamos resolver o sistema:
Pois queremos encontrar um ponto que satisfaça as 3 equações.
Resolvendo esse sistema por escalonamento, encontramos o ponto
Resposta
a)
b)