O plano π 1 contém A = ( 1 ,0 ,0 ) , B = ( 0 ,1 ,0 ) e C = ( 0 ,0 ,1 ) , o plano π 2 contém Q = ( - 1 ,- 1 ,0 ) e é paralelo a u → = ( 0 ,1 ,- 1 ) e v → = ( 1 ,0 ,1 ) , e o plano π 3 tem equação X = 1 ,1 ,1 + λ - 2 ,1 ,0 + μ ( 1 ,0 ,1 ) .a) Obtenha equações gerais dos três planos.b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o.

a) π 1 :x + y + z - 1 = 0 π 2 : x - y - z = 0 π 3 :1 x + 2 y - z - 2 = 0 b) P = 1 2 , 2 3 ,- 1 6

Enunciado

a) Vamos começar pelo plano . Ele contém os pontos e , logo, tem como vetores diretores e , certo?

Como queremos equações gerais, precisamos de um vetor normal desse plano, que vai ser o produto vetorial entre e :

Então, a equação desse plano tem o formato:

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto nessa equação:

Então a equação é:

Se o plano é paralelo a e , seu vetor normal vai ser o produto vetorial:

Então a equação geral desse plano é escrita assim:

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto nessa equação:

Assim:

Para , sabemos seus vetores diretores, então podemos encontrar seu vetor normal pelo produto vetorial:

Então a equação desse plano é escrita assim:

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto da equação vetorial do plano:

Então, a equação do plano é

b) Para encontrarmos a intersecção dos 3 planos, vamos resolver o sistema:

Pois queremos encontrar um ponto que satisfaça as 3 equações.

Resolvendo esse sistema por escalonamento, encontramos o ponto