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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 31

O vetor v → é ortogonal aos vetores u → = 2 ,   - 1 ,   3 e w → = 1 ,   0 ,   - 2 e forma ângulo agudo com o vetor j → . Calcular v → , sabendo que v → = 3 6

Passo 1

Para acharmos um vetor que é ortogonal a dois vetores simultaneamente, vamos usar do produto vetorial. Assim:

v → = u → × w →

u → × w → = i → j → k → 2 - 1 3 1 0 - 2

u → × w → = i → - 1 3 0 - 2 - j → 2 3 1 - 2 + k → 2 - 1 1 0

u → × w → = i → 2 - 0 - j → - 4 - 3 + k → 0 - ( - 1 )

u → × w → = 2 i → + 7 j → + k →

Assim, v → = 2 ,   7 ,   1 . Veja que ele está no primeiro octante.

Passo 2

Por fim, vamos usar da equação cos ⁡ θ = v → ∙ j → v → j → para acharmos o ângulo entre os vetores v → e j → e conferir se seu cosseno é menor que 1.

cos ⁡ θ = v → ∙ j → v → j →

cos ⁡ θ = 2 ,   7 ,   1 ∙ 0 ,   1 ,   0 3 6 1

cos ⁡ θ = 7 3 6 ≈ 0,95 . Logo, esse ângulo é agudo.

Resposta

v → = 2 ,   7 ,   1

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