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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 45b

Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores:

b) (-2,3)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que ele pede pra gente, ele diz que o vetor é ( - 2,3 ) , vamos chama-lo de u → , então temos

u → = ( - 2,3 )

E o vetor que queremos achar vamos chamar de v →

v → = ( x , y )

Para os vetorer serem ortogonais, precisamos que:

v → ∙ u → = 0

Passo 2

Vamos começar analisando o vetor unitário v →

Para um vetor v → ser unitário temos que

v → = 1

x 2 + y 2 = 1

Resolvendo isso ficamos com:

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1 - y 2

x = ± 1 - y 2

Então nosso vetor v → fica

v 1 → = ( 1 - y 2 , y )

v 2 → = ( - 1 - y 2 , y )

Então teremos 2 vetores unitários que são ortogonais!

Passo 3

Vamos escolher um para fazer, e o outro é só invertermos os sinais

Fazendo o produto escalar de v 1 → com u → (usando x positivo)

v 1 → ∙ u → = ( 1 - y 2 , y ) ∙ ( - 2,3 )

v 1 → ∙ u → = - 2 * 1 - y 2 + 3 y

Só que como os vetores são ortogonais, v 1 → ∙ u → é igual a zero, então temos:

- 2 * 1 - y 2 + 3 y = 0

2 * 1 - y 2 = 3 y

1 - y 2 = 3 y 2

Elevando tudo ao quadrado ficamos com

1 - y 2 = 9 y 2 4

4 - 4 y 2 = 9 y 2

13 y 2 = 4

y = ± 4 / 13

y = ± 2 13

Passo 4

Ufa! Agora que achamos y , vamos começar com o valor positivo e relembrar quem é nosso vetor unitário v 1 →

v 1 → = ( 1 - y 2 , y )

v 1 → = 1 - 2 13 2 , 2 13

v 1 → = 3 13 , 2 13

Passo 5

Para acharmos o outro vetor unitário que também é ortogonal é só inverter os sinais

v 2 → = - 3 13 , - 2 13

Resposta

3 13 , 2 13

Ou

- 3 13 , - 2 13

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(a) Prove que u → + v → + w → 2 = u → 2 + v → 2 + w → 2 + 2 u → ∙ v → + u → ∙ w → + v → ∙ w → , quaisquer que sejam u → , v → e w → .(b) Dados os vetores não-nulos u → , v → e w → , sejam α = a n g u
Dado os vetores vec u = ( 2 , - 4 ) e vec v = (- 5,1) e vec w = (- 12,6) determine k_1 e k_2 t a l que vec w = k_1 vec u + k_2 vec v .
Determinar o vetor vec v sabendo que(3,7 , 1) + 2 vec v = (6,10,4) - vec v
Dados os vetores vec u = (1 , a , - 2 a - 1) , vec v = (a , a - 1 , 1) e vec w = ( a , - 1,1 ) , determinar a de modo que vec u * vec v = (vec u + vec v) * vec w .
Dados os pontos A (- 1,0 , 2) , B (- 4,1 , 1) e C ( 0,1 , 3 ) , determinar o vetor vec x tal que:vec 2 x - vec A B = vec x + (vec B C * vec A B) vec A C