Mínimos Quadrados e Projeções
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Lembra que quando aprendemos o método de Mínimos Quadrados o que estávamos achando era de fato a melhor aproximação possível? Ou, em outras palavras, o vetor mais próximo do nosso que satisfazia a equação.
E, como também discutimos lá, o menor caminho que liga dois vetores é sempre uma reta, dessa forma, a ideia dos Mínimos Quadrados está intimamente conectada à ideia de projeção!!
Já vimos como encontrar a projeção de um vetor por meio de sua . Agora, vamos ver como fazer isso por meio de mínimos quadrados (fica MUITO mais rápido haha).
Ou seja, resolvemos o sistema . Aquele que vimos em mínimos quadrados, só troquei o pelo aqui ;).
Depois, multiplicamos o vetor obtido da solução do sistema pela matriz , e temos a sua projeção!
Vamos ver um exemplo:
Considere e . Calcule
Definindo , basta resolver:
Sendo assim,
Obs1: Se a base é ortogonal, o produto será uma matriz diagonal e o sistema será resolvido facilmente. Foi o que aconteceu nesse exemplo.
Obs2: Se a base é ortonormal, temos que . A projeção de sobre é então dada por
Obtendo a matriz Projeção
Apesar desse método ser mais voltado para obter diretamente a projeção de um vetor determinado, podemos obter a matriz projeção em uma direção pela fórmula:
Essa fórmula é uma consequência direta da de mínimos quadrados. É importante frisar que essa fórmula só funciona para projeções sobre uma reta, que é gerada por um único vetor.
Tá meio esquisito isso de e né? Vamos fazer um exemplo pra deixar mais claro então:
Determine a matriz da projeção sobre a reta no :
Vamos achar o vetor gerador dessa reta, para aplicar na fórmula acima:
Facilitou bastante nossa vida não é mesmo? Mas não é só isso, tenho mais um macete matador pra você!
Acabamos de aprender como obter a matriz projeção em um subespaço de dimensão . Mas também podemos fazer uma pequena adaptação nela pra obtermos a matriz que projeta um vetor sobre o complemento ortogonal de uma reta!
Ficou confuso? Calma que vou explicar! Imagine que você quer projetar sobre um plano no . Basta você encontrar o complemento ortogonal desse plano (que será uma reta), aplicar aquela fórmula pra achar a matriz que projeta nessa reta. Por fim, você a subtrai da matriz identidade!
Dá uma olhada nesse desenho pra ver se ajuda ;)
Obs.: Outra coisa muito interessante que esse desenho nos diz é que a soma vetorial de com vale o próprio !!
Então se eu quiser saber a matriz projeção no complemento ortogonal da reta do último exemplo, é só fazer a seguinte operação de matrizes:
Nos exercícios vão ter alguns exemplos pra você praticar isso. Vai ver que é bem mais rápido que por . A principal diferença entre os métodos é que por matrizes você encontra diretamente o vetor projetado, e ele é normalmente mais rápido. Por outro lado, usando a você encontra uma fórmula que pode ser usada com qualquer vetor, apesar de perder mais tempo.
Você pode usar o que se sentir mais confortável usando, mas fique atento, pois em alguns casos pode ser muito mais favorável ir por um dos métodos.