Teoria

Lembra que quando aprendemos o método de Mínimos Quadrados o que estávamos achando era de fato a melhor aproximação possível? Ou, em outras palavras, o vetor mais próximo do nosso b que satisfazia a equação.

E, como também discutimos lá, o menor caminho que liga dois vetores é sempre uma reta, dessa forma, a ideia dos Mínimos Quadrados está intimamente conectada à ideia de projeção!!

Já vimos como encontrar a projeção de um vetor por meio de sua T L . Agora, vamos ver como fazer isso por meio de mínimos quadrados (fica MUITO mais rápido haha).

Ou seja, resolvemos o sistema A T A z = A T b . Aquele que vimos em mínimos quadrados, só troquei o x pelo z aqui ;).

Depois, multiplicamos o vetor z obtido da solução do sistema pela matriz A , e temos a sua projeção!

Vamos ver um exemplo:

Considere H = s p a n 1 2 3 , 4 1 - 2 e b = 2 0 0 . Calcule P H b .

Definindo A = 1 4 2 1 3 - 2 , basta resolver:

A T A z = 1 2 3 4 1 - 2 1 4 2 1 3 - 2 z = 1 2 3 4 1 - 2 2 0 0 = A T b

14 0 0 21 z = 2 8

z = 1 7 8 21

Sendo assim,

P H b = A z = 1 4 2 1 3 - 2 1 7 8 21 = 5 3 2 3 - 1 3

Obs1: Se a base H é ortogonal, o produto A T A será uma matriz diagonal e o sistema será resolvido facilmente. Foi o que aconteceu nesse exemplo.

Obs2: Se a base H é ortonormal, temos que P H = A A T . A projeção de b sobre H é então dada por P H b = A A T b

Obtendo a matriz Projeção

Apesar desse método ser mais voltado para obter diretamente a projeção de um vetor determinado, podemos obter a matriz projeção em uma direção v pela fórmula:

P v = v v T v T v

Essa fórmula é uma consequência direta da de mínimos quadrados. É importante frisar que essa fórmula só funciona para projeções sobre uma reta, que é gerada por um único vetor.

Tá meio esquisito isso de v e v T né? Vamos fazer um exemplo pra deixar mais claro então:

Determine a matriz da projeção sobre a reta x + 3 y = 0 no R 2 :

Vamos achar o vetor gerador dessa reta, para aplicar na fórmula acima:

x + 3 y = 0 ⟹ x = - 3 y

x , y = - 3 y , y = y ( - 3,1 )

P v = v v T v T v = - 3 1 - 3 1 - 3 1 - 3 1 = 9 - 3 - 3 1 10 = 9 10 - 3 10 - 3 10 1 10

Facilitou bastante nossa vida não é mesmo? Mas não é só isso, tenho mais um macete matador pra você!

Acabamos de aprender como obter a matriz projeção em um subespaço de dimensão 1 . Mas também podemos fazer uma pequena adaptação nela pra obtermos a matriz que projeta um vetor sobre o complemento ortogonal de uma reta!

Ficou confuso? Calma que vou explicar! Imagine que você quer projetar sobre um plano no R 3 . Basta você encontrar o complemento ortogonal desse plano (que será uma reta), aplicar aquela fórmula pra achar a matriz que projeta nessa reta. Por fim, você a subtrai da matriz identidade!

P H ⊥ = I - P H

Dá uma olhada nesse desenho pra ver se ajuda ;)

Obs.: Outra coisa muito interessante que esse desenho nos diz é que a soma vetorial de P H b com P H ⊥ b vale o próprio b !!

Então se eu quiser saber a matriz projeção no complemento ortogonal da reta x + 3 y = 0 do último exemplo, é só fazer a seguinte operação de matrizes:

P H ⊥ = I - P H

P H ⊥ = 1 0 0 1 - 9 10 - 3 10 - 3 10 1 10 = 1 10 3 10 3 10 9 10

Nos exercícios vão ter alguns exemplos pra você praticar isso. Vai ver que é bem mais rápido que por T L . A principal diferença entre os métodos é que por matrizes você encontra diretamente o vetor projetado, e ele é normalmente mais rápido. Por outro lado, usando a T L você encontra uma fórmula que pode ser usada com qualquer vetor, apesar de perder mais tempo.

Você pode usar o que se sentir mais confortável usando, mas fique atento, pois em alguns casos pode ser muito mais favorável ir por um dos métodos.

Obtendo a matriz Projeção

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