Mínimos Quadrados
Teoria
Alguém aí já conseguiu resolver um problema impossível? Se liga que vou passar um pra vocês agora haha.
Encontre o vetor que resolve o sistema abaixo:
Bom imagino que a primeira coisa que fariam seria escalonar o sistema certo? Ficaria assim:
Então resolver aquele problema lá é a mesma coisa que resolver esse aqui:
Ué, mas como que ?? É impossível!!
Bom, eu falei que seria haha. E eu não falei pra fazerem isso por nada! Agora nós vamos aprender a resolver problemas impossíveis, sem solução!
Vamos mudar um pouquinho de assunto. Vamos voltar lá pra trás e lembrar de sistemas lineares. Por exemplo o sistema . Quando esse sistema tinha solução mesmo?
Vamos considerar e . Assim temos o sistema:
Lembra que isso é a mesma coisa que:
Então, o nosso sistema original , tem solução somente se pode ser escrito como uma das colunas da matriz .
Mas o que significa isso? Significa que pertencesse ao ! Em outras palavras, que pertence ao espaço gerado pelas colunas de que é, nada mais nada menos que a imagem de .
Então, tem solução .
Geometricamente temos isso aqui:
Onde
Neste caso, o sistema tem solução, pois
Se, por outro lado, o sistema NÃO TEM SOLUÇÃO, pois , teremos a imagem abaixo:
Repare que o vetor está fora do plano!
E é aí que eu queria chegar. Quando acontece este último caso, realmente não dá pra achar o valor exato, mas podemos achar uma aproximação que pode ser muito satisfatória para nossas necessidades!
Então, no caso que estamos trabalhando agora, não existe que satisfaça . Já que não existe solução mesmo, vamos tentar pegar o cara mais próximo de que pertença ao plano , ou seja, o cara que tenha menor distância possível entre e .
E qual a menor distância entre dois pontos?? Acertou quem pensou uma reta! Veja a figura abaixo:
Nesse caso temos que, o vetor mais próximo de e que pertence ao espaço é o vetor !
Agora se resolvêssemos o sistema , podemos ter certeza que ele vai ter solução. Repare que . Esse que queremos achar agora é a melhor aproximação que podemos fazer para , mas não é ele, já que o original não existe XD.
Veja que o que fizemos foi simplesmente projetar o vetor em , então podemos concluir que .
Mas po, quem é ??? Bom, realmente não sabemos, mas não se preocupe, porque já inventaram um teorema em função de para você não ter problemas.
Basicamente, o que o primeiro teorema quer dizer é: resolva a nova equação
e ache . Repare que com descoberto, você pode calcular a projeção de em fazendo , já que .
Se você precisar calcular a projeção, agora você também tem a opção de usar mínimos quadrados.
Uma aplicação para o método dos mínimos quadrados é achar uma curva que melhor se aproxima de um determinado conjunto de pontos, por exemplo. Quem já fez laboratório de física, sabe que os pontos da experiência nunca ficam perfeitos, e muitos desses pontos ficam fora da curva. Quando lá no laboratório, você traça aquela reta, por exemplo, que melhor passar por todos os pontos, é uma questão de mínimos quadrados! Observe:
Dados os pontos
Encontre a melhor reta que se aproxima dos pontos acima:
Bom, a equação da reta é dessa maneira aqui:
Assim, se você botar num gráfico, verá claramente que ficará igual a sua experiência de laboratório, e não vai dar pra passar a mesma reta por todos esses pontos hahaha. Bom, substituindo os pontos na equação:
No olho, vemos que esse sistema é impossível! Se tiver alguma dúvida, pode tentar resolver haha. Assim, como o sistema é impossível, podemos ver que trata-se de mínimos quadrados. Mas como eu vou aplicar isso?
Primeiro vamos passar o sistema para a forma matricial:
Repare que se tomarmos , , vamos ter o sistema na forma:
Que é o sistema que estamos acostumados! Assim, basta aplicar a fórmula dos mínimos quadrados:
Assim, vamos achar um , que melhor satisfaça o sistema de equações original.
Fazendo:
Assim resolvendo sistema:
Resolvendo o sistema, encontramos que:
E, portanto, a melhor reta que aproxima os pontos do enunciado é:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ-P4-2015.1
O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:
Passo 1
Como o sistema não tem solução, vamos resolver por mínimos quadrados, assim vamos passá-lo para a forma matricial:
Aplicando o mínimos quadrados:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos:
Passo 1
Vamos montar o sistema com os valores dados.
Você já sabe que a equação de uma reta é .
Então vamos substituir os valores de e na equação:
Podemos escrever esse sistema na seguinte notação:
Passo 2
Agora aplicamos o método dos mínimos quadrados.
A transposta da matriz é a matriz .
Vai ficar assim:
Passo 3
Por fim, encontramos o valor pedido.
Para encontrar o valor de e ,temos que resolver aquele sistema.
A matriz aumentada é:
Escalonando:
Da última equação, tiramos:
Da primeira:
Logo, fornece .
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ-2013.2
A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada por .
Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:
Os valores de e , de forma a obter a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados são:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O primeiro passo é montar o sistema.
Substituindo os valores de e na equação:
Vai ficar assim:
Agora temos que escrevê-lo em notação de produto matriz-vetor:
Como o sistema não tem solução, vamos aproximá-lo usando o Método dos Mínimos Quadrados.
Passo 2
A matriz transposta de é dada por:
Multiplicando dos dois lados:
Passo 3
Agora é só resolver o sistema (que já está escalonado)! Temos:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #4
UFRJ-P3-2012.1
Seja uma matriz com
Então pode não ter solução, mas sempre tem solução.
A afirmativa é falsa
A afirmativa é verdadeira
Passo 1
É verdade. É possível que uma matriz desse tipo não tenha solução, mas ela sempre terá uma solução por mínimos quadrados. Ou seja sempre terá solução.
Resposta
Letra