Posição Relativa de Reta e Plano

Produzido por Aline Buzzi
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Teoria

Já sei posições relativas entre retas e entre reta e plano, quais as posições relativas possíveis??

É isso que veremos agora!!

Há 3 possibilidades entre uma reta r e um plano π .

  • r estar contida em π .
  • r e   π serem paralelos
  • r e π serem transversais
  • Para estudar a posição relativa entre reta e plano temos 2 meios: um quando tivermos a equação geral do plano e a outra quando tivermos 2 vetores paralelos ao plano.

    Quando tivermos a equação geral do plano a x + b y + c z + d = 0 e o vetor diretor da reta r :   r → = ( e , f ,   g ) , podemos estudar a posição relativa da seguinte forma:

  • Se a e + b f + c g ≠ 0 , r e π são transversais
  • Se a e + b f + c g = 0 , r e π não são transversais. Para verificar se r está contida em π ou é paralela a π , basta escolher um ponto A de r e verificar se ele pertence a π . Se pertencer é porque r está contida no plano π , se não é paralela.
  • Já se tivermos dois vetores paralelos ao plano π   ( u → ,   v → ) e o vetor r → da reta r , podemos fazer da seguinte forma:

  • Se o produto misto entre ( u → ,   v → ,   r → ) ≠ 0 então r e   π são transversais.
  • Se o produto misto entre u → ,   v → ,   r → = 0 não são transversais. Para saber se são paralelos ou contida basta verificar se m ponto da reta r pertence ao plano π .

Importante: Os vetores paralelos ao plano não podem ser paralelos entre si, ou seja, v → ≠ α u → .

Vamos dar uma olhada em uns exemplos!

Qual é a posição relativa entre o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 e a reta r : x = 2 - t y = 1 + t z = 2 + t

Bem, da equação da reta tiramos que   r → = ( - 1 ,   1 ,   1 )   . Agora temos que substituir esse vetor na equação do plano sem o coeficiente d:

2 × - 1 - 1 × 1 + 3 × 1 = 0

Opa, deu zero! Então r e π não são transversais!

Vamos ver se um ponto da reta pertence ao plano substituindo esse ponto na equação do plano! Vou usar o ponto P = ( 2 ,   1 ,   2 ) e a equação do plano completa:

2 × 2 - 1 × 1 + 3 × 2 + 1 = 10 ≠ 0

Como o ponto P não satisfez a equação do plano, a reta r não está contida no plano! Então r só pode ser PARALELA ao plano!!!UHULLLL

Vamos fazer só mais um exemplinho para você ficar sacando tudo!

Qual é a posição relativa entre a reta r : x = 3 t y = 2 + t z = 1 - 2 t e o plano π , sabendo que   u → = ( - 1 ,   1 ,   1 ) e   v → = ( 0 ,   3 ,   1 ) são vetores paralelos a π .

Belezinha! Reparem que   u → e   v → não são paralelos entre si, então tá tudo certo!

Da equação de r , tiramos que   r → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) . Agora só precisamos fazer o produto misto ( u → ,   v → ,   r → ) !

- 1 1 1 0 3 1 3 1 - 2 = 1 ≠ 0

Com isso, descobrimos que r e π são TRANSVERSAIS!!! Showww de bolinhas!

Vamos só fazer uma pequena observação sobre um conceito importante que muita gente se confunde!

  1. Perpendicularidade e Ortogonalidade

Lembra quando falamos de perpendicularidade e ortogonalidade entre retas?

Duas retas são perpendiculares quando formam 90 ° entre si E são concorrentes. Já duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas.

Então, para reta e plano não faz sentido falar em ortogonalidade, pois não tem como eles formarem 90 ° e não se tocarem. Assim, um plano e uma reta são perpendiculares se e somente se o vetor diretor da reta r , ou seja, r → for paralelo ao vetor normal ao plano π   ( n → ) :

r → = α n →

Por fim, um RESUMÃO!

Com isso, fechamos a nossa teoria!!

Agora é só fazer uns exercícios e ficar expert!!!

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