Posição Relativa de Reta e Plano
Produzido por Aline BuzziTeoria
Já sei posições relativas entre retas e entre reta e plano, quais as posições relativas possíveis??
É isso que veremos agora!!
Há 3 possibilidades entre uma reta e um plano .
- estar contida em .
- e serem paralelos
- e serem transversais
- Se , e são transversais
- Se , e não são transversais. Para verificar se está contida em ou é paralela a , basta escolher um ponto de e verificar se ele pertence a . Se pertencer é porque está contida no plano , se não é paralela.
- Se o produto misto entre então e são transversais.
- Se o produto misto entre não são transversais. Para saber se são paralelos ou contida basta verificar se m ponto da reta pertence ao plano .
Para estudar a posição relativa entre reta e plano temos 2 meios: um quando tivermos a equação geral do plano e a outra quando tivermos 2 vetores paralelos ao plano.
Quando tivermos a equação geral do plano e o vetor diretor da reta , podemos estudar a posição relativa da seguinte forma:
Já se tivermos dois vetores paralelos ao plano e o vetor da reta , podemos fazer da seguinte forma:
Importante: Os vetores paralelos ao plano não podem ser paralelos entre si, ou seja, .
Vamos dar uma olhada em uns exemplos!
Qual é a posição relativa entre o plano e a reta
Bem, da equação da reta tiramos que . Agora temos que substituir esse vetor na equação do plano sem o coeficiente d:
Opa, deu zero! Então e não são transversais!
Vamos ver se um ponto da reta pertence ao plano substituindo esse ponto na equação do plano! Vou usar o ponto e a equação do plano completa:
Como o ponto não satisfez a equação do plano, a reta não está contida no plano! Então só pode ser PARALELA ao plano!!!UHULLLL
Vamos fazer só mais um exemplinho para você ficar sacando tudo!
Qual é a posição relativa entre a reta e o plano , sabendo que e são vetores paralelos a .
Belezinha! Reparem que e não são paralelos entre si, então tá tudo certo!
Da equação de , tiramos que . Agora só precisamos fazer o produto misto !
Com isso, descobrimos que e são TRANSVERSAIS!!! Showww de bolinhas!
Vamos só fazer uma pequena observação sobre um conceito importante que muita gente se confunde!
- Perpendicularidade e Ortogonalidade
Lembra quando falamos de perpendicularidade e ortogonalidade entre retas?
Duas retas são perpendiculares quando formam entre si E são concorrentes. Já duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas.
Então, para reta e plano não faz sentido falar em ortogonalidade, pois não tem como eles formarem e não se tocarem. Assim, um plano e uma reta são perpendiculares se e somente se o vetor diretor da reta , ou seja, for paralelo ao vetor normal ao plano
Por fim, um RESUMÃO!
Com isso, fechamos a nossa teoria!!
Agora é só fazer uns exercícios e ficar expert!!!