Posição Relativa de Reta e Plano
Teoria
Já sei posições relativas entre retas e entre reta e plano, quais as posições relativas possíveis??
É isso que veremos agora!!
Há 3 possibilidades entre uma reta e um plano .
- estar contida em .
- e serem paralelos
- e serem transversais
- Se , e são transversais
- Se , e não são transversais. Para verificar se está contida em ou é paralela a , basta escolher um ponto de e verificar se ele pertence a . Se pertencer é porque está contida no plano , se não é paralela.
- Se o produto misto entre então e são transversais.
- Se o produto misto entre não são transversais. Para saber se são paralelos ou contida basta verificar se m ponto da reta pertence ao plano .
Para estudar a posição relativa entre reta e plano temos 2 meios: um quando tivermos a equação geral do plano e a outra quando tivermos 2 vetores paralelos ao plano.
Quando tivermos a equação geral do plano e o vetor diretor da reta , podemos estudar a posição relativa da seguinte forma:
Já se tivermos dois vetores paralelos ao plano e o vetor da reta , podemos fazer da seguinte forma:
Importante: Os vetores paralelos ao plano não podem ser paralelos entre si, ou seja, .
Vamos dar uma olhada em uns exemplos!
Qual é a posição relativa entre o plano e a reta
Bem, da equação da reta tiramos que . Agora temos que substituir esse vetor na equação do plano sem o coeficiente d:
Opa, deu zero! Então e não são transversais!
Vamos ver se um ponto da reta pertence ao plano substituindo esse ponto na equação do plano! Vou usar o ponto e a equação do plano completa:
Como o ponto não satisfez a equação do plano, a reta não está contida no plano! Então só pode ser PARALELA ao plano!!!UHULLLL
Vamos fazer só mais um exemplinho para você ficar sacando tudo!
Qual é a posição relativa entre a reta e o plano , sabendo que e são vetores paralelos a .
Belezinha! Reparem que e não são paralelos entre si, então tá tudo certo!
Da equação de , tiramos que . Agora só precisamos fazer o produto misto !
Com isso, descobrimos que e são TRANSVERSAIS!!! Showww de bolinhas!
Vamos só fazer uma pequena observação sobre um conceito importante que muita gente se confunde!
- Perpendicularidade e Ortogonalidade
Lembra quando falamos de perpendicularidade e ortogonalidade entre retas?
Duas retas são perpendiculares quando formam entre si E são concorrentes. Já duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas.
Então, para reta e plano não faz sentido falar em ortogonalidade, pois não tem como eles formarem e não se tocarem. Assim, um plano e uma reta são perpendiculares se e somente se o vetor diretor da reta , ou seja, for paralelo ao vetor normal ao plano
Por fim, um RESUMÃO!
Com isso, fechamos a nossa teoria!!
Agora é só fazer uns exercícios e ficar expert!!!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 178-1.
Dados o plano
e a reta
Estude a posição relativa de e .
Passo 1
Até agora estávamos estudando a posição relativa entre retas!! Chegou a vez da posição relativa entre reta e plano! Para verificar a posição relativa entre a reta e o plano o enunciado nos dá a equação vetorial do plano e da reta. Com isso, conseguimos retirar os seguintes dados.
Dados:
Passo 2
Pelos dados retirados das equações vetoriais tanto da reta como do plano, temos dois vetores paralelos ao plano. Assim, vamos utilizar a análise entre reta e plano que leva em consideração o produto misto entre o vetor diretor da reta e os vetores do plano.
Assim, primeiro vamos verificar quanto vale o produto misto entre eles. Ressaltando aqui que os vetores do plano não podem ser proporcionais entre si, mas só de olhar para e percebemos que eles não são proporcionais. Bora montar o produto misto!!
O produto misto deu diferente de ZERO, portanto a reta e o plano são TRANSVERSAIS.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 181-3.
Calcule para que a reta esteja contida no plano
.
Passo 1
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
Com esses dados devemos determinar e para que a reta esteja contida no plano
Pela teoria sabemos que se uma reta está contida no plano, se e , se:
Além disso, temos que qualquer ponto de deve pertencer ao plano. Então, vamos usar essas duas informações para achar o valor de e .
Passo 2
Primeiro, temos que ter
Subtituindo e
Passo 3
Para achar o valor de sabemos que como qualquer ponto de pertence ao plano, então qualquer ponto deve satisfazer a equação geral do plano. Assim:
Substituindo :
Chegamos nas duas respotas que queríamos, valor de e .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 181-4.
Calcule para que a reta seja transversal ao plano
Passo 1
O problema pede para encontrarmos o valor de para que a reta seja transversal ao plano . Para isso, o enunciado nos fornece as equações simétricas da reta e a equação geral do plano.
Dados:
Passo 2
Como agora temos a equação geral do plano, vamos fazer uma análise diferente de quando tínhamos dois vetores paralelos ao plano. Pois, pela teoria sabemos que se:
Assim, substituindo teremos:
Substituindo os valores, teremos:
Portanto, para que seja transversal a
Resposta
Exercício Resolvido #4
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 201-1.
Verificar se e são perpendiculares, sendo
Passo 1
Temos as equações vetoriais da reta e do plano .
Dados:
Com esses dados devemos verificar se a reta e o plano são perpendiculares.
Mas, como faz isso ??? Na teoria só fala de perpendicularidade quando comparamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano!!! Não tenho o vetor normal do plano!!
Calma!!! Para tudo tem um jeito, e vamos te ensinar como fazer!!!
Passo 2
Não temos o vetor normal ao plano, massss, nós temos dois vetores que são paralelos ao plano. Assim, se fizermos o produto vetorial desses dois vetores, encontraremos o vetor normal ao plano. Blz? Bora, fazer o produto vetorial então!!
Passo 3
Agora sim, que temos o vetor normal do plano podemos usar nossa teoria para verificar se a reta e o plano são perpendiculares. Para isso devemos ver se:
Vamos checar?
Como
Portanto, a reta e o plano não são perpendiculares.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 177-Modificado.
Dados o plano
e a reta
Estude a posição relativa de e .
Passo 1
Vamos começar passando a equação da reta para forma simétrica (fica mais fácil de achar o vetor diretor)!
Para isso, vamos isolar nas equações:
Assim,
E o vetor diretor da reta é
Passo 2
Agora, vamos substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ) e ver se dá zero ou não.
Logo, e são transversais.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-13.
Verificar se a reta é perpendicular ao plano .
Passo 1
Opaa, como é que eu vejo se uma reta é perpendicular a um plano mesmo???
Se você tentasse resolver substituindo o vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ) e mostrando que isso não dá zero (reta e plano transversais), só estaria provando que a reta cruza o plano, mas o enunciado quer que a reta e o plano sejam perpendiculares (se cruzem e formem entre si), e agora?
Vamos matutar. O plano tem um vetor normal que é perpendicular a ele (ao plano). Então, para reta ser perpendicular ao plano ela tem que ser paralela ao vetor normal!
É só a gente ver se o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano são paralelos!!
Passo 2
Para vermos se dois vetores são paralelos,
Do enunciado tiramos que:
Substituindo na formulinha:
Abrindo isso,
Como todos os valores de são iguais, é paralela a e perpendicular ao plano!
Resposta
é paralela a e perpendicular ao plano
Exercício Resolvido #7
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-14.
Determinar os valores de e para que a reta
Esteja contida no plano .
Passo 1
Bom, para uma reta estar contida em um plano, ao substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ), isso tem que dar zero.
O vetor diretor da reta é
Vamos equacionar isso:
Passo 2
Além disso, os pontos da reta precisam satisfazer a equação do plano também (já que a reta está “dentro” do plano). Um ponto de r é .
Substituindo esse ponto na equação do plano,
Opaa, agora temos um sistema!
Passo 3
Vamos resolver esse “sistemoso” aí!
Da primeira equação tiramos que
Substituindo isso na segunda (equação):
Logo,
Uhullll!!
Resposta
e
Exercício Resolvido #8
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-14.
Determinar a equação geral do plano perpendicular a reta
E que contém o ponto .
Passo 1
Vamos por partes! Vou começar passando a fórmula da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização).
Vamos escrever as coordenadas em função de :
Assim,
Passo 2
Beleza! Agora vamos dar uma “bizoiada” no enunciado. Lá, ele diz que a reta e o plano são perpendiculares e isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal ao plano! Ou seja, o vetor diretor da reta é o vetor normal ao plano!
Então, se pensarmos em uma equação geral genérica, seria
Como, o vetor diretor da reta é Substituindo na equação do plano,
E o ????
Calma, pequeno gafanhoto! No enunciado ele também dá um ponto do plano!
Substituindo o ponto na equação do plano,
Assim,