Posição Relativa de Reta e Plano

Até agora estávamos estudando a posição relativa entre retas!! Chegou a vez da posição relativa entre reta e plano! Para verificar a posição relativa entre a reta e o plano o enunciado nos dá a equação vetorial do plano e da reta. Com isso, conseguimos retirar os seguintes dados.

Dados:

Pelos dados retirados das equações vetoriais tanto da reta como do plano, temos dois vetores paralelos ao plano. Assim, vamos utilizar a análise entre reta e plano que leva em consideração o produto misto entre o vetor diretor da reta e os vetores do plano.

Assim, primeiro vamos verificar quanto vale o produto misto entre eles. Ressaltando aqui que os vetores do plano não podem ser proporcionais entre si, mas só de olhar para e percebemos que eles não são proporcionais. Bora montar o produto misto!!

O produto misto deu diferente de ZERO, portanto a reta e o plano são TRANSVERSAIS.

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

Com esses dados devemos determinar e para que a reta esteja contida no plano

Pela teoria sabemos que se uma reta está contida no plano, se e , se:

Além disso, temos que qualquer ponto de deve pertencer ao plano. Então, vamos usar essas duas informações para achar o valor de e .

Primeiro, temos que ter

Subtituindo e

Para achar o valor de sabemos que como qualquer ponto de pertence ao plano, então qualquer ponto deve satisfazer a equação geral do plano. Assim:

Substituindo :

Chegamos nas duas respotas que queríamos, valor de e .

O problema pede para encontrarmos o valor de para que a reta seja transversal ao plano . Para isso, o enunciado nos fornece as equações simétricas da reta e a equação geral do plano.

Dados:

Como agora temos a equação geral do plano, vamos fazer uma análise diferente de quando tínhamos dois vetores paralelos ao plano. Pois, pela teoria sabemos que se:

Assim, substituindo teremos:

Substituindo os valores, teremos:

Portanto, para que seja transversal a

Temos as equações vetoriais da reta e do plano .

Dados:

Com esses dados devemos verificar se a reta e o plano são perpendiculares.

Mas, como faz isso ??? Na teoria só fala de perpendicularidade quando comparamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano!!! Não tenho o vetor normal do plano!!

Calma!!! Para tudo tem um jeito, e vamos te ensinar como fazer!!!

Não temos o vetor normal ao plano, massss, nós temos dois vetores que são paralelos ao plano. Assim, se fizermos o produto vetorial desses dois vetores, encontraremos o vetor normal ao plano. Blz? Bora, fazer o produto vetorial então!!

Agora sim, que temos o vetor normal do plano podemos usar nossa teoria para verificar se a reta e o plano são perpendiculares. Para isso devemos ver se:

Vamos checar?

Como

Portanto, a reta e o plano não são perpendiculares.

Vamos começar passando a equação da reta para forma simétrica (fica mais fácil de achar o vetor diretor)!

Para isso, vamos isolar nas equações:

Assim,

E o vetor diretor da reta é  

Agora, vamos substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ) e ver se dá zero ou não.

Logo, e são transversais.

Opaa, como é que eu vejo se uma reta é perpendicular a um plano mesmo???

Se você tentasse resolver substituindo o vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ) e mostrando que isso não dá zero (reta e plano transversais), só estaria provando que a reta cruza o plano, mas o enunciado quer que a reta e o plano sejam perpendiculares (se cruzem e formem entre si), e agora?

Vamos matutar. O plano tem um vetor normal que é perpendicular a ele (ao plano). Então, para reta ser perpendicular ao plano ela tem que ser paralela ao vetor normal!

É só a gente ver se o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano são paralelos!!

Para vermos se dois vetores são paralelos,

Do enunciado tiramos que:

Substituindo na formulinha:

Abrindo isso,

Como todos os valores de são iguais,   é paralela a   e perpendicular ao plano!

Bom, para uma reta estar contida em um plano, ao substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o ), isso tem que dar zero.

O vetor diretor da reta é  

Vamos equacionar isso:

Além disso, os pontos da reta precisam satisfazer a equação do plano também (já que a reta está “dentro” do plano). Um ponto de r é .

Substituindo esse ponto na equação do plano,

Opaa, agora temos um sistema!

Vamos resolver esse “sistemoso” aí!

Da primeira equação tiramos que

Substituindo isso na segunda (equação):

Logo,

Uhullll!!

Vamos por partes! Vou começar passando a fórmula da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização).

Vamos escrever as coordenadas em função de :

Assim,

Beleza! Agora vamos dar uma “bizoiada” no enunciado. Lá, ele diz que a reta e o plano são perpendiculares e isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal ao plano! Ou seja, o vetor diretor da reta é o vetor normal ao plano!

Então, se pensarmos em uma equação geral genérica, seria

Como, o vetor diretor da reta é   Substituindo na equação do plano,

E o ????

Calma, pequeno gafanhoto! No enunciado ele também dá um ponto do plano!

Substituindo o ponto na equação do plano,

Assim,