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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 22

Verifique se a reta

      ⎧   x   = 1 - 3 α

  r   ⎢   y   = 2   + α

      ⎩   z   = 1   -   2 α

está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .

Passo 1

Pessoal, vamos construir o raciocínio dessa questão por partes. Primeiramente, precisamos descobrir qual o plano formado pelos pontos A   = ( 1,0 , - 1 ) , B   = ( 2,1 , 1 ) e C   = ( 0,3 , 1 ) e descobrir se a reta r, na sua forma paramétrica R   =   ( 1 - 3 α , 2   + α , 1   -   2 α ) intercepta o plano para algum valor possível de α . Vamos lá:

Os pontos fornecidos pela questão nos dão os seguintes vetores:

A B → = B - A = ( 2,1 , 1 ) -   ( 1,0 , - 1 ) = ( 1,1 , 2 )

A C → = C - A = ( 0,3 , 1 ) -   ( 1,0 , - 1 ) = ( - 1,3 , 2 )

Agora, escolhemos um ponto qualquer dado por X = ( x , y , z ) , mas que esteja presente no plano. Desse modo,

A X → = X - A = ( x , y , z ) - ( 1,0 , - 1 ) = ( x - 1 , y , z   + 1 )

e, para descobrirmos qual o plano formado por esses vetores, basta calcularmos o determinante do vetores A X → , A B → e A C → que, por sua vez, são l.d. e implica que o determinante deve ser nulo. Daí, temos

⇒   ( x - 1 ) ( 2   - 6 )   - y ( 2   + 2 )   + ( z + 1 ) ( 3   + 1 )   =   0

⇒   - 4 x + 4   - 4 y   + 4 z + 4   =   0

⇒   x   + y   - z   - 2   =   0

Passo 2

Por fim, basta verificar se haverá uma interseção entre a reta R   =   ( 1 - 3 α , 2   + α , 1   -   2 α ) e o plano x   + y   - z   - 2   =   0 , basta testar se R satisfaz a equação do plano. Daí, quando o plano assumir os valores de x , y e z da reta, teremos:

1 - 3 α   + 2   + α   - ( 1   -   2 α )   - 2 =   0   ⇒ α ( - 3 + 3 )   + 3 -   3   =   0   ⇒   0   =   0

Portanto, há um ponto de interseção entre a reta e o plano.

Resposta

Sim.

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Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção da reta r com o plano π . π 1 : 2 x + y - 4 = 0 e π 2 : z = 5