Equação do Plano

O problema nos dá as 3 equações paramétricas do plano. E, nós queremos descobrir qual é a equação vetorial. Bateu o desespero? Calma, vamos devagar para você entender direitinho!!

Primeiro, temos que retirar todas as informações possíveis que estão nas equações paramétricas. Então, vamos começar!!

As equações paramétricas tem o seguinte formato:

Sendo que são as coordenadas de um ponto que pertence ao plano e e são as coordenadas dos vetores pertencentes ao plano. Sabendo disso e comparando com a equação paramétrica conseguimos obter esses dados.

Comparando, temos:

Bom, na teoria vimos que a forma genérica da equação vetorial do plano é:

Sabemos que é um ponto genérico , o ponto é um ponto conhecido pertencente ao plano, ou seja, e os vetores e são os vetores paralelos ao plano, e

Agora, é só substituirmos:

Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha

O problema nos dá três informações: o ponto que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano e . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido e um ponto genérico , e os vetores paralelos e igualar a zero.

Então, vamos montar o produto misto entre . Antes, vamos determinar .

Agora que montamos o produto misto é só resolver:

Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por , que ficaria:

As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.

O enunciado nos pede a equação cartesiana do plano , sendo que devemos determinar essa equação sabendo que o plano passa pelo ponto e que o plano é paralelo ao plano . Bem, parece que está faltando informação?! Pode até parecer, mas temos tudo o que precisamos! Vamos descobrir o que falta!!

Vamos raciocinar o que podemos tirar de informação do plano !! Bem, temos a equação geral do plano e dela podemos tirar o vetor normal ao plano , certo? Pois, sabemos que a equação geral do plano tem a seguinte forma:

Sendo e as coordenadas do vetor normal do plano , . O problema falou que os planos e são paralelos, então isso significa dizer que o vetor normal ao plano também é normal ao plano . Pronto matamos a charada!!!

Agora que sacamos que o vetor normal de é normal também à , então temos tudo o que precisamos para determinar a equação geral do plano . Assim, sabendo:

Substituindo as coordenadas de na equação geral temos:

Só falta descobrirmos o valor de substituindo :

Então, nossa equação é:

Esse problema é parecido com o anterior que fizemos, pois o exercício nos pede novamente a equação geral do plano. Porém, o enunciado nos fornece 3 pontos que determinam o plano que queremos. Que estanho!! Como faço isso tendo apenas 3 pontos? Na teoria não lembro de ter visto nada disso!! Realmente, você ainda não viu!! Mas, você vai ver como é possível fazer isso!!

Vamos analisar a figura a seguir

Com os três pontos e pertencentes ao plano conseguimos formar dois vetores que sejam paralelos ao plano, por exemplo, os vetores e . Assim, teríamos dois vetores paralelos ao plano e ainda podemos escolher um dos 3 pontos para achar a equação geral do plano fazendo o produto misto.

Então, vamos primeiro calcular os vetores e .

Agora, já temos dois vetores paralelos ao plano e não são paralelos entre si. Falta escolher um ponto para fazer o produto misto. Porquê eu quero vou escolher o ponto . Então, bora montar o produto misto. Lembrando que o terceiro vetor é formado pelo ponto e o ponto genérico que gera .

Para tornar os índices os mais reduzidos podemos multiplicar por e obteremos:

Prontinho, chegamos na equação geral. Lembrando que os vetores paralelos poderiam ter sido outros que o resultado daria no mesmo, bem como o ponto escolhido.

Ainda, há uma segunda forma de se resolver esse problema que é ao invés de zerar o produto misto, poderíamos fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano encontrados e assim acharíamos o vetor normal ao plano. Escolheríamos um ponto e substituiríamos direto na equação geral do plano .

O enunciado nos fornece várias informações!! Vamos retirar!!

Dados:

Tendo esses dados devemos mostrar que o ponto não pertence à reta e também devemos determinar a equação do plano que contém e .

Vamos começar mostrando se o ponto pertence ou não á reta . Para isso, como vimos no tópico sobre “Estudo da Reta” devemos montar alguma das equações da reta e testar. Como temos o vetor diretor que é o paralelo a reta e um ponto, vou montar as equações simétricas da reta e testar o ponto .

Substituindo os valores de e , temos:

Agora que já temos as equações simétricas da reta basta substituirmos os valores de e verificar a validade das equações:

Portanto, mostramos que não pertence à

Para finalizar, devemos determinar a equação geral do plano que contém a reta e o ponto

A figura acima mostra o que temos de informações, ou seja, a reta e o ponto que pertence ao plano e sabemos que não pertence à . Mas, vimos que para determinar um plano precisamos do vetor normal e um ponto, ouuu, de dois vetores paralelos ao plano e um ponto. Bem, essa segunda opção me parece a mais viável para o nosso caso!! Um vetor paralelo nós já temos que é o vetor , mas precisamos de mais um!!! Como achar? Se encontrarmos um ponto pertencente à reta e fizermos um vetor com o ponto , teremos:

Então, bora achar o ponto pertencente à reta . Para isso vamos usar as equações simétricas que já achamos:

Se chutarmos que , teremos que:

Então, devemos achar e de forma que a proporção seja , assim:

Portanto, temos o ponto .

Agora podemos encontrar o vetor e então teremos as informações necessárias para encontrar a equação geral do plano.

Agora é só montar o produto misto entre o ponto e um ponto genérico e os vetores e .

Montando o produto misto, temos:

Resolvendo,

Vale ressaltar que o ponto da reta escolhido poderia ter sido qualquer outro, que o resultado deve ser o mesmo. Pois, o que importa realmente é que os dois vetores não sejam paralelos entre si e como o ponto não pertence à então não corremos esse risco ;)

Queremos determinar a equação geral do plano que contém os pontos e e ainda é perpendicular ao plano , ou seja, forma . Nossa de novo determinar a equação geral do plano??

Isso mesmo!! Porém, a cada questão estamos vendo que o enunciado pode nos dar diferentes dados e que mesmo assim conseguimos obter a equação geral ;).

Nessa questão, por exemplo, vamos nos basear pela figura a seguir.

Novamente, para determinar o plano que queremos temos duas opções: ter o vetor normal ao plano e um ponto pertencente a ele OU ter dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Pela figura, podemos ver que vamos ficar com a segunda opção, pois com os pontos e conseguimos formar o vetor que é paralelo ao plano já que eles pertencem ao plano e também podemos notar que o vetor normal do plano é paralelo ao plano que queremos determinar, pois os dois são perpendiculares.

Com tudo o que falamos, acho que deu para sacar que nossos dados serão o vetor , o e um dos pontos ou que poderemos escolher qualquer um deles que o resultado será o mesmo. Vamos determinar então os vetores e :

O vetor tiraremos da equação geral do plano :

Por fim, o ponto que usaremos será o , lembrando que poderia ser o .

Agora, basta montarmos o produto misto entre os vetores e . Sendo um ponto genérico.

Resolvendo:

Prontinho, encontramos a equação geral do plano!!

O problema nos dá os seguintes dados.

Dados: Reta Plano

Com esses dados devemos determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano. Ahh??! Como assim? Calma!!! Lembra que lá na teoria falamos que íamos explicar direitinho no exercício?!! Então, a hora chegou!!

Bom, para começar devemos determinar as equações da reta e do plano. Mas, quais equações? Para ser mais fácil determinar o ponto de interseção, é melhor acharmos a equação geral do plano e as equações reduzidas da reta. Mais para frente ficará mais claro o porquê de escolhermos essas equações.

Vamos começar pelas equações reduzidas da reta. Porquê eu quero que você entenda como montar as equações reduzidas em função de vou achar as equações reduzidas da reta em função de . Como vimos, na teoria as em função de , vamos relembrar como chego nas em função de . Sabemos que as reduzidas provêm das simétricas, então:

Como quero em função de , escreverei:

Isolando e , teremos:

Já sabemos a equação reduzida, basta substituirmos os valores de e . Como nos é dados dois ponto que pertencem à reta e , então um vetor diretor pode ser e o ponto podemos escolher entre ou , vou escolher o ponto . Então teremos o seguintes dados:

Substituindo nas equações reduzidas temos:

Agora, vamos determinar a equação geral do plano. Temos, o vetor normal e o ponto que pertence ao plano. Subsituindo os valores de na equação geral do plano temos:

Para acharmos substituiremos .

Assim,

Já temos todas as equações que precisamos! Podem os montar o seguinte sistema de equações:

Para acharmos o ponto que é o ponto da interseção basta acharmos as coordenadas que satisfazem as 3 equações acima. Entendeu agora porque escolhi as equações reduzidas da reta e a equação geral do plano?

Resolvendo o sistema temos que deve ser . Substituindo na equação teremos:

Multiplicando a equação por e somando com a equação teremos:

Agora, para achar o valor de basta substituirmos na equação :

Assim, nosso ponto de interseção é:

O enunciado nos dá as equações de duas retas e e diz que essas duas retas estão no plano que queremos determinar a equação geral. Ent��o, para achar a equação geral do plano devemos determinar dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Os dois vetores paralelos podemos obter por meio do vetor diretor de cada reta.

Vamos começar descobrindo qual é o vetor diretor de cada reta, beleza?!

A reta está escrita na forma de equações reduzidas em função de . Por meio delas conseguimos determinar o jeito genérico dos pontos pertencentes à reta:

Se encontrarmos 2 pontos da reta , conseguimos formar o vetor diretor da mesma, assim:

Assim, o vetor diretor da reta é:

então .

A reta nos é dada em equações paramétricas pois todas as coordenadas e estão em função de . Podemos identificar o vetor diretor facilmente nesse caso, basta observar os coeficientes de :

Assim, .

Dessa forma, analisando as duas retas temos dois vetores:

Opa!!! Mas, esses dois vetores são paralelos, pois . Nesse caso não poderemos usar os dois para determinar o plano!! Como faremos então?

Bom, temos a seguinte figura que representa a situação que temos:

Se e são paralelos, podemos formar um outro vetor que não seja paralelo a eles pegando por exemplo um ponto de e outro de . Por exemplo o vetor !

Conseguimos, por meio das suas equações paramétricas, achar um ponto . Com o ponto e , teríamos o vetor:

Assim, escolhendo , entre e já que são proporcionais e o vetor , teremos:

Bom, pelo menos não são proporcionais!!! Ufa!!

Vamos encontrar agora a equação do plano.

Escolhendo como ponto do plano o ponto e os vetores e , agora sim, podemos fazer o produto misto e encontrar a equação geral do plano. Considerando . Teremos .

Pronto!! Chegamos na nossa tão sonhada equação do plano!! hehe

O exercício pede para escrevermos as equações paramétricas dos três planos coordenados. Mas, quais são esses planos ??

Você já os conhece!! Talvez, não esteja lembrando!! Os três planos coordenados, são os planos e , como mostra a figura a seguir:

Vamos começar analisando o plano !

Pela figura o plano é o verde. Podemos ver que na figura já desenhamos dois vetores paralelos ao plano que são os vetores e . Poderíamos ter escolhido qualquer outro vetor que pertencesse ao plano. E escolhemos também um ponto qualquer pertencente ao plano que no caso é o ponto . Já temos dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente ao plano, agora é só colocar os valores nos lugares adequadas da forma paramétrica, que é:

Sabemos, pela teoria que são as coordenadas do ponto pertencente ao plano, no nosso caso é . Já as coordenadas e são as coordenadas dos vetores paralelos ao plano , então podemos dizer que:

Escrevendo na forma paramétrica, temos: