E aí, vamos começar a esquentar os motores? Então, vamos nessa....

O enunciado pede para calcularmos o produto interno entre os vetores e . Então, aqui é importante ressaltar que já nos foi dado os vetores bonitinhos, com as coordenadas certas. Assim, não precisamos fazer nenhuma manipulação para encontrar os vetores, eles já nos foram dados, okay?

Bom, como vimos na teoria para achar o produto escalar entre dois vetores temos que multiplicar as coordenadas correspondentes uma a uma e depois somá-las, ou seja, devemos multiplicar a componente do vetor pela componente do vetor , e assim, para todas as demais coordenadas.

Assim,

Esse exercício nos dá várias informações. Então, vamos com calma!! Primeiro, vamos retirar do problema tudo o que ele nos fornece de informação!!

Dados: Vetores Pontos

Pronto!! Já temos os dados separados. Bom, então o problema pede para determinarmos o valor de para que a expressão seja válida.

Nessa expressão, o que não temos é o vetor , pois só foi nos fornecido os pontos e . Assim, vamos primeiro encontrar o vetor .

Agora, podemos começar a resolver nossa expressão, começando pela soma.

Por fim, realizamos o produto interno.

Como a questão quer que esse resultado seja igual a 5:

Ângulo??? Mas, até agora não vímos nada de ângulo!!!

Relaxa Aí!!

Nós vimos na teoria que o produto escalar entre dois vetores equivale a:

Sendo o o ângulo entre os vetores e , os mesmo que queremos descobrir.

Então, devemos determinar o valor de , e . Vamos começar calculando os módulos dos vetore!!

Falta calcular o produto interno .

Agora, que temos todos os valores podemos achar o ângulo.

Multilicando por em cima e em baixo da fração do lado direito:

Então temos um ângulo cujo cosseno é .

Sabemos que o ângulo cujo cosseno tem esse valor é o de certo?

Isso pode ser escrito como:

Looogo:

Bom, nos é dado o ângulo entre os vetores e . E, pede-se o valor de , para que o ângulo entre os vetores seja .

Dados:

Primeiro, vamos achar o vetor , pois só temos os pontos e .

Agora que temos os dois vetores e o ângulo entre eles como achamos o valor de ???

Bom, sabemos, que o produto interno é igual a:

Assim, se igualarmos os dois lados da equação acharemos

O produto interno é dado por

O módulo de é dado por

E o módulo de é

Colocando os valores encontrados na “fórmula” deduzida acima, temos:

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado

Multiplicando cruzado

Jogando tudo pro lado esquerdo

Pra dar uma simplificada, vamos dividir tudo por

Viu o que apareceu?? É um quadrado perfeito! \o/

Isso significa que

Show! E esse é o nosso valor de :D

O problema pede para encontrarmos um vetor, que chamaremos de , que o mesmo seja ortogonal, ou seja, forme com o vetor E .

Uma característica importante é que quando falarmos em retas e plano será MUITO utilizada é a de que o produto interno entre dois vetores que formam entre si vale ZERO. (Guarde essa dica com carinho ). Vamos usar essa característica para achar o vetor .

Como não sabemos nenhuma das coordenadas do nosso vetor , vamos assumir que:

Se sabemos que deve ser ortogonal a E . Então,

e

e

Das duas expressões acima, temos que:

e

Logo,

Assim, temos um conjunto de vetores possíveis que são da forma:

Por simplicidade, um dos vetores possíveis é quando

Temos que determinar o vetor de forma que ele seja paralelo ao vetor e que o produto interno entre e seja .

Puts, e agora?? Buguei, como que eu acho um vetor que seja paralelo a ??

Respira e vamos lá!!!

Vamos recordar algumas coisas que nos ajudarão a resolver o problema. Na teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” falamos em vetores LI e LD. Falamos, que vetores LD, são aqueles que são proporcionais e que são PARALELOS entre si. Lembrou??

Assim, temos que para ser paralelo a , temos que:

Logo, temos que será:

Para encontrarmos precisamos determinar . Temos uma informação que não usamos ainda, a de que

Se , então

O enunciado nos dá duas informações: que o vetor forma (ortogonal) com o vetor e que é colinear a . A partir destas informações devemos determinar o vetor .

De novo nãoo!!!

Não sei o que é colinear, ou até posso saber, mas o que isso me ajuda???

Fica frio, que vais entender tudinho, beleza?

Bom, vamos começar com o colinear, pois sabendo o que ele representa, fica mais fácil resolver o resto. Colinear é o nome que damos a vetores que pertencem a mesma reta (linha), ou que são paralelos. Assim, como vimos no exercício anterior, para ser paralelo temos que ter:

Agora vamos utilizar a informação de que e são ortogonais. Como vimos, o produto interno entre dois vetores ortogonais é ZERO.

Aqui chegamos em um resultado meio inusitado. Mas, o que ele nos diz?? Que qualquer valor de satisfaz a expressão acima, pois qualquer número multiplicado por zero dá zero.

Assim, o pode ser qualquer valor pertencente ao conjunto dos Reais.

para

Esse problema, na verdade, são dois problemas em um. Primeiro, devemos achar que tenha e que forme com os vetores e . Ao encontrarmos que seja compatível com as características anteriores, o enunciado nos sugere que encontraremos mais de um vetor possível, e que desses devemos determinar qual deles forma um ângulo agudo com o vetor.

Dados:

Com os dados acima, encontraremos o vetor que denotaremos por:

Temos que:

A última informação que temos é que que equivale a:

Encontramos assim, um sistema de equações:

Das duas primeiras equações se subtrairmos a segunda equação da primeira chegamos que:

Substituindo na primeira equação novamente chega-se que:

Por fim, utilizando que e a 3ª equação descobrimos que:

Assim, temos duas possibilidades para o vetor :

Se , logo

Se logo

A primeira parte está concluída. Agora, temos que achar qual dos dois vetores de que formam um ângulo agudo com o vetor .

Mas, e agora o que eu faço para saber se é ou não agudo ??

Vamos raciocinar juntos!!

Do produto interno sabemos que a seguinte igualdade é válida:

Certo?!

Então, vamos analisar o que temos e o que podemos tirar com essa expressão. Bom, os vetores e nós temos. O módulo de nós já sabemos e do vetor será , só falta o ângulo. Ora, lá do Ensino Médio aprendemos que o cosseno de um ângulo agudo é maior ou igual a zero e que para um ângulo obtuso (maior que ) é menor que zero, lembrou??

Então, faremos esse teste com cada um dos dois vetores que achamos e verificar qual deles o cosseno é positivo. Aqui, tem um detalhe que não precisamos calcular os módulos, pois como todo o módulo é um valor positivo, o mesmo não vai influenciar no resultado ;). Ufa!! Vai nos poupar algumas continhas haha.

Assim, para , temos:

Para nossa sorte já achamos o resultados hehe

Esse problema nos dá os seguintes dados:

Pede para calcularmos o módulo dos vetores e .

Não sei nem por onde começar, ferrou!!!

Calma, tem alguns conhecimentos prévios que são fundamentais. Esse, é aquele tipo de exercício que sabemos resolver se já o vimos uma vez na vida hehe.

Lembra da Regra dos Cossenos, lá do Vestibular??? Se não se lembrar, relaxa aí!!

Repara que o lado c é o lado que está oposto ao ângulo , e os lados a e b são os que aparecem entre esse ângulo!

Olhando a figura acima podemos fazer uma associação entre os lados do triângulo com vetores.

Ué, como assim? O lado é um tamanho e o vetor é uma seta!

Isso mesmo, mas você pode ver os lados como se fossem o módulo do vetor, já que o módulo representa o tamanho do vetor.

Assim, com os dados do problema temos que:

A setinha 1 indica o caso do vetor . Se você não lembra de como faz essa diferença de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O problema nos pede para calcular o módulo desse vetor .

Para isso, vamos utilizar a Regra dos Cossenos que vimos no Passo 2.

Aplicando essa regra no triângulo da setinha 1, vamos ter:

Como sabemos que módulo indica o comprimento do vetor, então o sentido do vetor, ou seja, ele ser ou não altera o seu módulo, apenas o sentido.

Com os dados fornecidos no enunciado chegamos que:

Assim,

Para finalizar, consideraremos a setinha 2 que indica o caso . De novo, se você não lembra de como faz essa soma de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O passo a passo é o mesmo do caso , só temos que nos atentar que agora o ângulo a ser considerado não é mais e sim como mostra a figura, já que o corresponde ao ângulo oposto a .

Assim,

Temos que mostrar que o triângulo é retângulo em . Que pela figura a seguir, significa dizer que os vetores e formam entre si.

Se eles são ortogonais entre si, sabemos que . Assim, basta provar que o produto interno entre eles é ZERO.

Como nos foi dado os pontos e . Vamos achar os vetores e .

Então,

Portanto,

OMG!!! Projeção?? Nunca entendi essa parada!

Agora é a hora então!! Vamos passo a passo para você ficar fera em projeção ;).

Vimos na teoria, que projeção é a “sombra” que um vetor faz no outro. A figura a seguir ilustra melhor!

Então, o que o enunciado nos pede é o tamanho do vetor em laranja que o mesmo é a projeção do vetor sobre o vetor . Aqui vale enfatizar que o enunciado pediu o cateto , o cateto não indica um vetor e sim um lado, assim eu escolhi a direção do vetor . Como vimos na teoria, para achar o vetor projeção temos uma formulinha ;), que é:

Para o nosso caso, essa fórmula fica da seguinte forma:

Vamos calcular os vetores que precisamos:

Então,

Achamos o vetor projeção, mas CUIDADO, não é isso que é nos pedido, ele pede a medida da projeção, ou seja, o tamanho. Assim, vamos calcular o módulo da projeção.