Produto Vetorial

Vamos aquecer os motores!!!

Bom, o problema pede para calcularmos o produto vetorial , sendo que nos é dado os vetores . Até aí eu entendi!! Mas, e o que quer dizer a frase “referidos a uma base ortonormal positiva ”?

Bem, ela só nos diz que devemos considerar a base cartesiana, é mais para reforçar mesmo, porque dificilmente trabalhamos com outras bases, só mais para frente veremos. Mas, isso vemos depois, foco aqui!

Agora é aplicar o que vimos na teoria, montar o determinante direitinho e depois resolvê-lo.

Então,

Lembrando, o produto gera um vetor.

São nos dados vetores na base cartesiana. E pede para que representemos num gráfico. Para cada um teremos que calcular o produto vetorial entre os vetores dados e depois desenhar num gráfico. Temos duas formas de fazer isso. Em cada item será apresentada uma forma.

1. Primeira maneira de se resolver: Maneira analítica

No item nos é dado . Pode parecer uma representação esquisita, mas ela está na base cartesiana, ou seja:

• indica a coordenada .
• indica a coordenada .
• indica a coordenada

Assim, é nos dado o seguinte produto vetorial:

Agora que sabemos a representação mais comum a nós, vamos fazer o produto vetorial:

Agora que já sabemos interpretar a representação cartesiana, fica mais tranquilo identificarmos os vetores .

Se dominamos a regra da mão direita e a base cartesiana, esse jeito pode ser mais rápido.

Bom, primeiro, sabemos que os versores da base cartesiana são ortogonais entre si, então, pela regra da mão direita sabemos que:

A direção e o sentido do nosso produto vetorial nós já achamos, simplemente aplicando a regra da mão direita. Mas, qual o módulo?

Bom, sabemos que:

Como sabemos, o Ângulo entre e é , assim temos que:

Então,

O enunciado nos pede para clacular a área do paralelogramo formado pelos vetores . Sabemos da teoria que a área é o módulo do produto vetorial .

Então, vamos calcular o produto vetorial primeiro e depois fazemos o módulo do vetor encontrado. Para isso vamos determinar os vetores .

Agora é montar o determinante!

Como queremos a área é só calcular o módulo do vetor encontrado.

Então,

O enunciado nos pede o valor de para que o paralelogramo formado por tenha área de .

Como eu acho o ?

Bem, nós sabemos que a área do paralelogramo formado pelos vetores é . Sabemos pela teoria que o módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo. Então, fazemos o produto vetorial e depois calculamos o módulo para achar ;).

Então, vamos calcular primeiro o produto vetorial:

Temos o vetor resultante do produto vetorial, então agora é só calcularmos o módulo:

Resolvendo a equação de 2º grau, chaga-se em:

O enunciado nos dá os seguintes dados:

E nos pede para calcular

Bem, vamos pensar!!! Esses dados não te fazem lembrar de uma relação que vimos lá na teoria?

Tudo bem!!! Vamos relembrar ;).

Olha essa relação:

Uau!! Parece que nosso problema está resolvido uhuuuu...é só colocar na fórmula os dados e sair para o abraço .

O problema nos fornece os seguintes dados:

Dados:

Com esses dados, o exercício pede para determinarmos o valor de para que o vetor seja ortogonal (forme ) simultaneamente aos vetores e .

Buguei na parte que fala “simultaneamente ortogonal”!!!

Vamos relembrar um detalhe que vai nos ajudar ;).

Na teoria vimos algumas propriedades do produto vetorial! Lembra? Pois é, eu sei que eram muitos, mas uma delas vai nos ajudar muito. Essa aqui!

Matou a charada?

Então, sabemos que o produto vetorial gera um vetor, e ainda a propriedade nos diz que esse vetor é simultaneamente ortogonal aos dois vetores que o formam. É tudo o que precisamos. Então, para acharmos , precisamos forçar que ou também que , no caso iremos obter vetores oposto.

Então agora é mão na massa!!!

Se você fizer , chegarás em:

Nesse caso, a conta só vai fazer sentido com , pois em e igualando a , teremos:

O problema nos dá dois vetores e . Com esses dois vetores devemos determinar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados e além disso, que seja unitário.

Bom, no exercício anterior vimos que se realizarmos o produto vetorial entre e , o vetor resultante será ortogonal a esses dois vetores. Okay, essa parte já entendemos!! E o unitário onde entra nessa história?

Calma!! Você vai entender tudinho!!

Na teoria não chegamos a falar sobre o termo “unitário”, mas ele significa que o módulo do vetor deve ser unitário. Assim, esse vetor é chamado de “versor”. Para achar o vetor unitário basta calcular o seu módulo e dividir cada coordenada pelo seu módulo, assim oh:

Agora, é fazermos as conta. Vamos começar resolvendo o produto vetorial :

Achamos o vetor que queríamos, que é . Agora falta transformá-lo em unitário.

Então, para fazê-lo ter módulo unitário, vamos calcular primeiro o seu módulo, que é:

O vetor unitário que estamos procurando será:

É bom lembrar que se considerarmos , obteremos como resultado o oposto do vetor obtido anteriormente, pois:

Já temos o vetor unitário, agora queremos calcular um vetor de módulo cinco nas mesmas condições do anterior. Se nas mesmas condições do anterior podemos utilizar o resultado que temos.

Vamos pensar um pouco... Se o vetor que encontramos é unitário, ou seja, seu módulo é unitário, então, isso significa que se multiplicarmos as suas coordenadas por , o vetor passará a ter módulo ?

É exatamente isso. Então, o vetor de módulo é:

Temos os vértices de um triângulo que são os pontos . Com esses pontos devemos determinar a área do triângulo.

Na teoria vimos como calcular a área de um paralelogramo, então sucesso, já sabemos como fazer. Opa! Mas, aqui é a aréa de um triângulo!!! Como faremos?

Ahh precisamos de uma informação valiosa lá do colégio. Quando aprendemos que a área de um paralelogramo é duas vezes a área de um triângulo. Então, temos que:

Então, a área do paralelogramo sabemos calcular!

Pela figura, temos os vértices do triângulo . Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores , sabemos pela teoria que equivale ao módulo do produto vetorial entre esses dois vetores:

Então, primeiro precisamos calcular o produto vetorial. Mas, antes precisamos calcular os vetores , pois foi nos dado os pontos apenas.

Agora sim, podemos calcular o produto vetorial:

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo do vetor, para encontrar a área do paralelogramo.

Mas, não é ainda o que queremos. Queremos a área do triângulo que como falamos antes é:

Então, temos que . Assim:

Depois de fazermos as contas, vamos fazer um questionamento: E se, tivéssemos utilizado, outros vetores, como, por exemplo, alteraria nosso resultado?

O resultado deve ser o mesmo, pois o resultado final é dado em módulo, e esse é igual para qualquer vetor considerado.

Esse exercício é meio que o inverso do anterior, pois é nos dado os pontos que formam o triângulo e também é nos dada a área do triângulo. Então, o que devemos descobrir é a coordenada do ponto para que o triângulo tenha área .

Sabemos que o módulo do produto vetorial entre os vetores nos dará a área do paralelogramo, e que a área do paralelogramo é duas vezes a do triangulo, então temos que:

Sabendo a área do paralelogramo, sabemos quanto deve dar o módulo do produto vetorial entre . Então, vamos calcular o produto vetorial, mas primeiro vamos achar os vetores que precisamos.

Já temos o produto vetorial. Agora, é calcular o módulo e igualar com a área do paralelogramo que já descobrimos quanto vale:

Resolvendo a igualdade acima, temos:

Resolvendo a equação de 2º grau chegamos em duas soluções:

Esse exercício requer conhecimentos do produto escalar e do produto vetorial. Bem, o enunciado pede para provarmos que se dizemos que os vetores e então ou .

Vamos, analisar cada parte, começando por . Do produto escalar temos que:

Se o enunciado nos diz que , então pela expressão acima temos três possibilidades:

• O ângulo entre os vetores , ou seja, .

Analisando a segunda afirmação e a relação do produto vetorial, temos :

• O ângulo entre os vetores , ou seja, .

Já temos tudo o que podemos concluir com os dados que nos foram dados. Agora como sabemos que a relação entre e é de E, ou seja, é de intersecção, então, concluimos que:

c.q.d

Falta falarmos da interpretação geométrica do problema. Bom, pensando geometricamente, sabemos que esses vetores não são paralelos entre si e nem formam . Então, poderiam formar qualquer ângulo diferente de . Mas, para satisfazer as duas condições do produto escalar e vetorial, a única possibilidade é a de que um dos vetores seja nulo.