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Exercícios Resolvidos de Apoios Elásticos

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Exercício 51234678

Enunciado

Determine o diagrama de deslocamentos verticais da viga dada abaixo, determinando pelo menos 3 pontos deslocados.

u s e   E J = 50   .   10 4

Passo 1

Antes de determinar qualquer coisa precisamos antes determinar os pontos que iremos determinar os deslocamentos, que nesse caso iremos usar estrategicamente os apoios e o ponto central da estrutura.

Passo 2

Em seguida sabemos que o que devemos fazer é determinar o sistema equivalente que iremos usar na nossa estrutura.

Como só temos molas verticais, teremos apenas apoios verticais, e como não temos forças horizontais, não iremos nós preocupar com o que ocorre na horizontal, sendo assim o nosso sistema será dado por:

Sabemos que antes de começar a usar qualquer fórmula precisamos garantir logo o nosso diagrama para esse sistema equivalente com o carregamento externo, sendo assim, teremos que o nosso diagrama será:

Passo 3

Agora precisamos descobrir o deslocamento de cada um dos pontos que tivermos definido. Perceba que como temos que descobrir os deslocamentos dos apoios, é melhor começarmos exatamente por eles, dessa maneira teremos que:

  • Apoio em A

    • Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

    Perceba que esse diagrama será zero, logo, qualquer combinação entre diagrama será inútil para ver se tem deslocamento, pois já sabemos que nesse caso a combinação será zero.

    Em contra partida temos as reações de apoio que serão dadas por.

    Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    Sabemos que:

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 1   k N ( p a r a   m o l a   A )

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0   k N ( p a r a   m o l a   B )

    F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )

    E perceba que consideramos a contribuição das duas molas, é que nesse caso a reação em uma será zero, e por esse motivo será desprezada, mas substituindo o que temos na fórmula teremos que:

    K A = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 2   .   10 4 k N m

    E J = 50   .   10 4

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    E J c δ A = 50   .   10 4 1   .     72 2   .   10 4 + 50   .   10 4 0   .     72 5   .   10 3 = 1800

    E J c δ A = 1800

    δ A = 0,0036   m

  • Apoio em B

    • Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

    Perceba que esse diagrama será zero, logo, qualquer combinação entre diagrama será inútil para ver se tem deslocamento, pois já sabemos que nesse caso a combinação será zero.

    Em contra partida temos as reações de apoio que serão dadas por.

    Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    Sabemos que:

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 1   k N ( p a r a   m o l a   B )

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0   k N ( p a r a   m o l a   A )

    F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )

    E perceba que consideramos a contribuição das duas molas, é que nesse caso a reação em uma será zero, e por esse motivo será desprezada, mas substituindo o que temos na fórmula teremos que:

    K B = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 5   .   10 3 k N m

    E J = 50   .   10 4

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    E J c δ B = 50   .   10 4 0   .     72 2   .   10 4 + 50   .   10 4 1   .     72 5   .   10 3 = 7200

    E J c δ B = 7200

    δ B = 0,0144   m

    Passo 4

  • Deformação em C

Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

Agora nesse caso iremos ter sim diagrama, e nesse caso o diagrama junto com as reações de apoio será dado por:

E devemos combinar ele com o diagrama de carregamentos reais que é dado por:

É usando a nossa tabela de combinações, sabemos que a combinação desses dois diagramas resulta em:

E J c δ C = 1 3   .   L   1 + α β L 2 . M . M ¯ = 1 3   .   12   .   1 + 6   .     6 12 2 . 216   .   3 = 3240

E J c δ C = 3240

δ C 1 = 0,00648   m

Também temos as reações de apoio que serão dadas por.

Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

Sabemos que:

F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0,5   k N ( p a r a   m o l a   A   e   B )

F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )

E perceba que consideramos a contribuição das duas molas, substituindo o que temos na fórmula teremos que:

K A = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 2   .   10 4 k N m

K B = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 5   .   10 3 k N m

E J = 50   .   10 4

E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

E J c δ C = 50   .   10 4 0,5   .     72 2   .   10 4 + 50   .   10 4 0,5   .     72 5   .   10 3 = 900 + 3600 = 4500

E J c δ C = 4500

δ C 2 = 0,0090   m

Logo a deformação total em C será a soma das duas parcelas dadas por:

δ C = δ C 1 + δ C 2 = 0,00648 + 0,0090 = 0,01 548   m

Tendo todas as deformações teremos que o nosso diagrama será:

Resposta

δ A = 0,0036   m

δ B = 0,0144   m

δ C = 0,01 548   m