Equações Separáveis
Um tanque tem capacidade para 8000 litros, mas contém apenas 5000 litros de água e 20 kg de sal dissolvidos. Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. A solução é mantida completamente misturada e é escoada por um ralo com vazão de 10 litros por minuto. Duas horas depois, o ralo é tampado.
- Qual a quantidade de sal no instante em que o ralo é tampado?
- No momento exato em que o ralo é tampado, a torneira passa a despejar no tanque água salgada a 0,02 kg sal por litro com mesma vazão de 10 litros por minuto. Quanto tempo leva para o tanque ficar cheio, depois que o ralo é tampado?
- Qual a quantidade de sal no instante que o tanque fica cheio?
Passo 1
Pra resolver essa questão, primeiramente vamos entender o problema e escrever tudo que podemos identificar do enunciado.
Resolvendo a letra a):
Foi dito que inicialmente tinha 5000 litros de água e 20 Kg de sal dissolvidos. E a cada minuto, entram 10 litros de água pura. Então vamos fazer o seguinte, vamos começar escrevendo uma expressão para que vai indicar a TAXA de variação da quantidade de sal no instante . E lembrando o que tá lá no enunciado: “Água PURA entra no tanque a uma TAXA de 10 litros por minuto”. Então significa que a quantidade de sal está diminuindo, porque entra água pura e sai água com sal, como dito no enunciado. Daí vem o sinal negativo na TAXA de variação:
Então como nós queremos encontrar a quantidade de sal , basta resolvermos a equação separável acima!! E como o próprio nome diz, vamos resolvê-la separando as variáveis.
Passo 2
Resolvendo a equação separável, vamos ter:
E então integrando cada lado da equação, temos:
E por fim, isolamos a variável :
Aonde K é uma constante qualquer e indica a quantidade de sal no instante .
Passo 3
Se queremos achar a quantidade de sal no instante , basta jogar na expressão de . Mas espera, ainda tem uma constante ali que não pode ser desprezada! E vamos dar conta dela agora!
Lambra que foi dito no enunciado que inicialmente havia de sal? Pois então, é essa informação que vai nos dizer o valor da constante . Se INICIALMENTE havia de sal, significa que pra temos que . Então substituindo esses valores na expressão que nós encontramos:
Com isso, podemos reescrever a expressão:
E para que , como pedido no problema, vamos achar:
Passo 4
Resolvendo a letra b):
Esse item é bem tranquilo!! Você lê o enunciado e pensa: será que é só isso mesmo? E eu respondo: YEEAAAAAAH!!
Ele disse no enunciado que o tanque tem 8000 litros de capacidade, e 5000 estavam cheios. Na situação do item taxa de água que entra é exatamente igual a que sai, que é 10 litros por minuto. Então no momento em que o ralo é tampado, o tanque ainda tem 5000 litros ocupados. Aí ele vem te perguntar quanto tempo leva pra encher o tanque todo, ou seja, quanto tempo leva pra encher os 3000 litros restantes, com a mesma vazão de 10 litros por minuto. Aquela informação de é só pra te confundir, você só vai usá-la na letra c).
Então você manda pra ele assim:
E aí é só correr por abraço!!
Passo 5
Agora vamos resolver a letra c). Então pensem só: Nesses 3000 litros que entraram pra completar o tanque, entrou também uma quantidade de sal que é igual a , certo? Então a quantidade total de sal quando o tanque está completo vai ser .
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