Teoria

A Interpolação de Newton, também chamada de forma de Newton é mais um jeito de se aproximar uma função, achando seu polinômio interpolador.

Ilustração de Isacc Newton
Ilustração de Isacc Newton

O objetivo é aproximar uma função para um polinômio . Vamos utilizar esse método sempre que tivermos pares ordenados da função, mas ou menos assim:

Interpolação de Newton
Interpolação de Newton

Esses pontinhos em vermelho no gráfico são os pontos que a gente conhece. Com o método de Newton a gente consegue traçar um polinômio interpolador… ou seja, um polinômio que passa por esses pontos! 🤩

Fórmula do polinômio interpolador de Newton

Indo direto ao ponto, a fórmula do polinômio interpolador por Newton é dada por :

Polinômio interpolador de newton
Polinômio interpolador de newton

Onde:

  • são chamados de operadores diferenças divididas;
  • são os extremos dos intervalos que dividimos a função (o dos pontos que temos).

Ok, mas o que são esses operadores diferenças divididas? Bora descobrir?!

📢 Clique para ver mais:

Como achar o grau do polinômio interpolador: Operador diferenças divididas

Para achar o polinômio interpolador de Newton, vamos precisar de um operador chamado de diferenças divididas que são os polinômio interpolador :

Se quisermos calcular o valor de no polinômio teremos:

Polinômio interpolador de newton
Polinômio interpolador de newton

Note que todos os termos que possuem vão se cancelar e irá restar apenas:

Agora vamos tentar calcular através de :

Interpolação de Newton: Cálculo de d1
Interpolação de Newton: Cálculo de d1

Podemos colocar esse resultado em uma tabelinha:

Interpolação de Newton: d1
Interpolação de Newton: d1

Para achar o valor de , vamos completar a tabela fazendo a diferença duas vezes:

Interpolação de Newton: Cálculo de d2
Interpolação de Newton: Cálculo de d2

Continuando esse processo e encontrando as diferenças dívidas, os valores de serão sempre os primeiros de cada nova coluna, ou seja, se quisermos o valor de d_3queremos o primeiro valor da diferença da tabela na coluna de ordem 3, assim por diante:

Interpolação de Newton: Cálculo de dn
Interpolação de Newton: Cálculo de dn

Escolhendo do Grau do Polinômio Interpolador

A tabela de diferenças divididas vai nos ajudar na escolha do grau do polinômio! Com a tabela pronta, precisamos analisar as diferenças de cada ordem. Se as diferenças divididas de uma ordem qualquer forem praticamente constantes, ou se as diferenças de ordem forem muito próximas de , então um polinômio interpolador de grau será o que dará a melhor aproximação da função na região considerada.

Vamos ver por exemplo, observe a tabela abaixo com os pontos da função que queremos interpolar:

Dados de entrada do exemplo
Dados de entrada do exemplo

Fazendo a tabela de diferenças divididas e fazendo as continhas, como já demonstrado anteriormente, fica assim:

tabela de diferenças divididas para a escolha do grau do polinômio interpolador do exemplo
tabela de diferenças divididas para a escolha do grau do polinômio interpolador do exemplo

Com os valores dessa tabela, podemos encontrar um polinômio de até grau , pois temos o valor de ) mas repare nas diferenças de ordem 2. Percebe que os valores encontrados são quase constantes?

E as de Ordem 3 são bem próximas de 0? Isso quer dizer que a melhor aproximação para no intervalo é um polinômio de grau 2. Ficando com:

Algoritmo

Antes de qualquer coisa, precisamos definir como sendo o operador diferença dividida onde é o mesmo do de maior envolvido e j é a ordem do operador. Por exemplo, seria já que o maior dos é o e ele é de ordem . Teríamos algo desse tipo:

Ordem do polinômio interpolador
Ordem do polinômio interpolador

Assim:

Definido isso, o algoritmo é dado dessa forma:

Passo 1: Dados iniciais

Nessa etapa a gente insere os seguintes dados no programa:

  • Vetor de valores ;
  • Vetor de valores ;
  • Valor onde se quer avaliar .

Passo 2: Para de a repita o passo .

Aqui a gente entra no primeiro looping.

Passo 3: Para de a repita o passo .

Mais um looping;

Passo 4: Calcule ;

Onde é dado por:

Passo 4: A aproximação para será dada por:

Agora vamos praticar com exercícios?

Algoritmo

Exercícios de Livros Relacionados