Interpolação de Newton
Teoria
A Interpolação de Newton, também chamada de forma de Newton é mais um jeito de se aproximar uma função, achando seu polinômio interpolador.

O objetivo é aproximar uma função

Esses pontinhos em vermelho no gráfico são os pontos que a gente conhece. Com o método de Newton a gente consegue traçar um polinômio interpolador… ou seja, um polinômio que passa por esses pontos! 🤩
Fórmula do polinômio interpolador de Newton
Indo direto ao ponto, a fórmula do polinômio interpolador por Newton é dada por :

Onde:
são chamados de operadores diferenças divididas; são os extremos dos intervalos que dividimos a função (o dos pontos que temos).
Ok, mas o que são esses operadores diferenças divididas? Bora descobrir?!
📢 Clique para ver mais:
- Interpolação de Newton: Exercícios Resolvidos
- Erro na Interpolação
- Interpolação inversa
- Mínimos Quadrados
Como achar o grau do polinômio interpolador: Operador diferenças divididas
Para achar o polinômio interpolador de Newton, vamos precisar de um operador chamado de diferenças divididas que são os
Se quisermos calcular o valor de

Note que todos os termos que possuem
Agora vamos tentar calcular

Podemos colocar esse resultado em uma tabelinha:

Para achar o valor de

Continuando esse processo e encontrando as diferenças dívidas, os valores de

Escolhendo do Grau do Polinômio Interpolador
A tabela de diferenças divididas vai nos ajudar na escolha do grau do polinômio! Com a tabela pronta, precisamos analisar as diferenças de cada ordem. Se as diferenças divididas de uma ordem qualquer
Vamos ver por exemplo, observe a tabela abaixo com os pontos da função que queremos interpolar:

Fazendo a tabela de diferenças divididas e fazendo as continhas, como já demonstrado anteriormente, fica assim:

Com os valores dessa tabela, podemos encontrar um polinômio de até grau
E as de Ordem 3 são bem próximas de 0? Isso quer dizer que a melhor aproximação para
Algoritmo
Antes de qualquer coisa, precisamos definir

Assim:
Definido isso, o algoritmo é dado dessa forma:
Passo 1: Dados iniciais
Nessa etapa a gente insere os seguintes dados no programa:
- Vetor de valores
; - Vetor de valores
; - Valor
onde se quer avaliar .
Passo 2: Para de a repita o passo .
Aqui a gente entra no primeiro looping.
Passo 3: Para de a repita o passo .
Mais um looping;
Passo 4: Calcule ;
Onde
Passo 4: A aproximação para será dada por:
Agora vamos praticar com exercícios?
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 135, exercício 17
Para uma função , a tabela de diferenças divididas é dada por:
Determine as entradas que estão faltando na tabela.
Passo 1
Temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 134, exercício 10
Mostre que o polinômio interpolador da tabela abaixo é de grau :
Passo 1
Vamos começar montando a tabela de diferenças divididas:
Com isso, podemos ver que a partir da ordem , temos apenas na nossa tabela. Isso implica que o polinômio tem grau .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Lista 6 – Professora Susana – Questão 9
Os seguintes dados correspondem a um polinômio de grau . Qual é o grau do polinômio?
Passo 1
Montando a tabela de diferenças divididas:
Com isso, podemos ver que a partir da ordem , temos apenas na nossa tabela. Isso implica que o polinômio tem grau .
Resposta
Grau
Exercício Resolvido #4
Lista 4 – Professora Angela – UFRJ – Questão 1
Dada a tabela da população de uma vila no início de cada ano, estimar a população na metade de , usando o polinômio de Newton.
Passo 1
Vamos começar com a tabela de diferenças divididas:
Com isso, sabemos que vamos usar um polinômio de grau dado por:
Agora precisamos escolher , e da melhor forma possível. Como queremos a população na metade de , vamos usar:
E temos:
Logo,
Passo 2
Substituindo o valor já que ele quer o valor na metade de :
Resposta
A população dessa vila na metade de era aproximadamente pessoas.
Exercício Resolvido #5
Lista de Interpolação – UNICAMP – Questão 8
Encontre aproximações para usando polinômios interpoladores de Newton de graus , e usando os dados abaixo:
Passo 1
Montamos a tabela de diferenças divididas:
Passo 2
Um polinômio de grau requer valores . Como queremos uma aproximação em usamos:
E temos:
Nosso será:
Aproximando no nosso ponto de interesse:
Passo 3
Já um polinômio de grau requer valores . Então usamos:
E temos:
Nosso será:
Aproximando no nosso ponto de interesse:
Passo 4
E por último, um polinômio de grau requer valores . Então usamos:
E temos:
Nosso será:
Aproximando no nosso ponto de interesse:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 134, exercício 7 adaptada
Encontre o polinômio de interpolação de grau para os pontos da tabela abaixo:
Adicione o ponto na tabela, e construa um polinômio interpolador de grau .
Passo 1
Montamos a tabela de diferenças divididas (vamos montar já com o ponto extra):
O que está em cima da linha azul é relativo a primeira parte do exercício. O que está abaixo da linha azul é pra segunda parte.
Passo 2
Temos:
E da tabela tiramos que:
Nosso será:
Passo 3
Vamos ter quase a mesma coisa, mas aparece um e um agora:
E da tabela tiramos que:
Nosso será:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 231, exemplo 7 adaptado.
Dada a tabela abaixo, obtenha o usando um polinômio de 1º grau
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer é construir a tabela de diferenças divididas, então partiu!!!
A primeira coluna da tabela será composta pelos valores de . Já a segunda coluna, que recebe o nome de ordem 0, é composta pelos valores da .
Bora achar esses para as difereças de ordem 1
Colocando na tabela de diferenças
Como o professor nos pediu pra ajustar por uma reta, então basta ir até a ordem 1, nem precisa ir adiante não.
Passo 2
Tá mas que que eu faço agora com esse monte de números que achamos?
Precisamos achar o , olhando pra tabela 3.7 tá dentro do intervalo [3,4]. Então vamo utilizar como e
Nesse nosso exercício, já que ele é o primeiro valor tabelado do intervalo que a gente tá interessado.
Passo 3
Já que este polinômio aproxima a , a gente pode escrever o seguinte
Resposta
Exercício Resolvido #8
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 234, exemplo 8 adaptado.
Seja tabelada e dada abaixo. Obter por interpolação linear.
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer é construir a tabela de diferenças divididas, então partiu!!!
Como vamos fazer uma interpolação linear (usando uma reta), só precisamos das difereças de ordem 1.
Bora achar esses para as difereças de ordem 1
Colocando na tabela de diferenças
Como o professor nos pediu pra ajustar por uma reta, então basta ir até a ordem 1, nem precisa ir adiante não.
Passo 2
E agora josé?
Precisamos achar o , olhando pra tabela 0.7 tá dentro do intervalo [0.5,1]. Então vamo utilizar como e
Nesse nosso exercício, já que ele é o primeiro valor tabelado do intervalo que a gente tá interessado.
Passo 3
Já que este polinômio aproxima a , a gente pode escrever o seguinte