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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 16

16. Calcule pi da relação pi // 4 = int_0^1 d x // ( 1 + x^2 ) com erro de 10^(- 3) por Simpson.

Passo 1

Vamos usar a regra de 1 // 3 de Simpson!

Bom! Vamos ver quantos intervalos a gente precisa usar! Pra garantir um resultado ainda melhor, peguemos um erro de 10^(- 4) ...

(n h^5)/(180) * underset(x in [a , b])(max) |f^(i v) (x)| <= 10^(- 4)

A derivada quarta de...

f (x) = (1)/(1 + x^2)

É dada por...

f^(i v) (x) = (24 ( 5 x^4 - 10 x^2 + 1 ))/((x^2 + 1)^5)

Com x indo de 0 até 1 ... Desse modo:

f^(i v) (0) = (24)/((1)^5) = 24

f^(i v) (1) = (24 ( 5 - 10 + 1 ))/((2)^5) = - 3

E com h igual à...

h = (a - b)/(n) = (1)/(n)

Então...

(n h^5)/(180) * underset(x in [a , b])(max) |f^(i v) (x)| <= 10^(- 4)

(1)/(180 n^4) * 24 <= 10^(- 4)

n >= 6

Peguemos n = 8 !

E então...

h = (1)/(n) = (1)/(8) = 0.125

Passo 2

E agora, vamos montar a tabela abaixo...

Calculando a integral...

I = int_0^1 (1)/(1 + x^2) d x = (0.125)/(3) [1 + 4 * 3.1739 + 2 * 4.762352 + 0.5] = 0.785392

O valor de pi // 4 por sua vez, é dado por...

(pi)/(4) = 0.785398

Resposta

I = 0.785392

(pi)/(4) = 0.785398

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