11. a) Comprove gráfica e analiticamente que se:i) f ' ' ( x ) é contínua em [ a , b ] , eii) f ' ' x0 , ∀ x ∈ [ a , b ] ,então, a aproximação obtida para ∫ a b f x d x pela regra dos Trapézios é maior do que o valor exato da ∫ a b f x d x . Considere n = 1 .b) Sabendo que f x = e x + x 2 satisfaz as condições acima em [ 0,1 ] , e que I = ∫ 0 1 e x + x 2 d x = 2.051 , comprove que a conclusão do item (a) é válida também para a regra dos Trapézios repetida, calculando I com erro inferior a 5 ⋅ 10 - 2 . Use três casas decimais.

a) C o mas e g u n d ad e r i v a d a ,ar e g r ad o st r a p é z i o sd á é áu m am e l h o ra p r o x i m a ç ã od ai n t e g r a l çã b) I T R = 2.086

Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 11

11. a) Comprove gráfica e analiticamente que se:

i) é contínua em , e

ii) ,

então, a aproximação obtida para pela regra dos Trapézios é maior do que o valor exato da . Considere .

b) Sabendo que satisfaz as condições acima em , e que , comprove que a conclusão do item (a) é válida também para a regra dos Trapézios repetida, calculando com erro inferior a . Use três casas decimais.

Passo 1

a) E aí meu bom! Se liga só!

O erro da regra dos Trapézios envolve a segunda derivada , nos dando o resultado exato quando aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja igual a zero, ou seja, para qualquer função com grau 1 ou menos. Se a segunda derivada der igual a zero, o valor fica mais aproximado do que utilizando o cálculo da integral propriamente dita.

Como vimos, a regra dos trapézios faz uso de uma aproximação de uma função por meio de uma reta. A aproximação da integral desejada é feita a partir da área do trapézio obtido. Ao aplicar diversas vezes esta regra em um intervalo , ela adequa-se melhor ao cálculo da integral, sendo uma técnica mais refinada em relação à simples aproximação da área por um trapézio e muito útil quando temos uma função com grau maior que e desejamos, ainda assim, a aproximação por trapézios.

Passo 2

No caso abaixo, a integral de pode ser aproximada pela área de um único trapézio. Deste modo, observa-se que quanto menor a altura h do trapézio no intervalo , indicada na imagem abaixo, melhor será a aproximação.

Dependendo do intervalo/altura utilizada, a aproximação pode ser grosseira. Para melhorarmos tal relação, restringimos o intervalo a um certo tamanho e aplicamos a regra do trapézio repetidas vezes, tomando muitos trapézios com altura tendendo a zero para que a aproximação seja a mais adequada para a função, como mostra a imagem:

Nesse caso, a segunda derivada da função é maior que zero, o que faz com que a aproximação seja melhor com o uso dos trapézios do que com os retângulos propriamente ditos.