Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 15b

Calcular:

Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.

Passo 1

Eaii! Tudo belezinha? No exercício proposto, temos uma integral definida que não vai de –1 até 1, que é uma das condições para usarmos a quadratura de Gauss. Teremos que fazer uma mudança de variável e ajustar o intervalo. Caso você não se lembre, a quadratura de Gauss pode ser feita seguindo a relação a seguir:

∫ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 = ∫ − 1 1 𝑓 𝑥 𝑡 𝑏 − 𝑎 2 𝑑 𝑡

Tal relação é utilizada para a quadratura de Gauss de 2 pontos. Bora fazer a mudança de variável para deixar o intervalo de − 1   até 1   :

Parametrizando obtemos:

𝑥 𝑡 = 𝑏 − 𝑎 2 𝑡 + 𝑏 + 𝑎 2 = 𝑡 − 1

Agora devemos substituir o que obtemos na integral e ajustar o dx para transformar em dt, de acordo com a relação da quadratura de Gauss para 2 pontos:

∫ − 1 1 𝑡 − 1 2 − 1 𝑏 − 𝑎 2 𝑑 𝑡

∫ − 1 1 𝑡 − 1 2 − 1 1 𝑑 𝑡

∫ − 1 1 𝑡 2 − 2 𝑡 + 1 − 1 1 𝑑 𝑡

∫ − 1 1 𝑡 2 − 2 𝑡 𝑑 𝑡

Chegamos em uma integral tranquila de resolver em que fizemos todas as alterações necessárias pela quadratura de Gauss para 2 pontos. Agora só precisamos resolver e obteremos:

∫ − 1 1 𝑡 2 − 2 𝑡 𝑑 𝑡   =   𝑡 3 3 − 𝑡 2 − 1     1

  𝑡 3 3 − 𝑡 2 − 1     1 = 0.6666 …

Passo 2

Agora, para comparar os resultados, vamos resolver pelo método direto:

∫ − 2 0 𝑥 2 − 1 𝑑 𝑥   =   𝑥 3 3 − 𝑥 − 2     0

  𝑥 3 3 − 𝑥 − 2     0 =   0.6666 …

Obtivemos os mesmos resultados! Acabamos por aqui, até o próximo.

Resposta

O resultado da integral é   0.6666 …   pelos dois métodos.

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza a fórmula de integração da forma ∫ - 1 1 f ( x ) d x ≈ w 0 f ( - 0.5 ) + w 1 f ( 0 ) + w 2 f ( 0.5 ) que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2.
Calcular:Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.
Escolha uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h e avalie: ∫ − 1 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 ,Com duas casas decimais corretas.