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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 12

Deduza a fórmula de integração da forma

∫ - 1 1 f ( x ) d x ≈ w 0 f ( - 0.5 ) + w 1 f ( 0 ) + w 2 f ( 0.5 )

que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2.

Passo 1

Como a fórmula deve integrar exatamente polinômios de grau ≤ 2, então nossa aproximação passa a ser uma igualdade nesses casos:

f ( x ) = 1

f ( x ) = x

f ( x ) = x 2

Então, teremos:

w 0 ∙ 1 + w 1 ∙ 1 + w 2 ∙ 1 = ∫ - 1 1 1 d x = 2

w 0 ( - 0.5 ) + w 2 ( 0.5 ) = ∫ - 1 1 x d x = 0

w 0 ( 0.25 ) + w 2 ( 0.25 ) = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

Passo 2

Resolvendo esse sistema, obtemos:

w 0 = w 2 = 4 3

Logo, nossa fórmula de integração fica:

∫ - 1 1 f ( x ) d x   ≈   4 3 f ( - 0.5 ) - 2 3 f ( 0 ) + 4 3 f ( 0.5 )

Resposta

∫ - 1 1 f ( x ) d x   ≈   4 3 f ( - 0.5 ) - 2 3 f ( 0 ) + 4 3 f ( 0.5 )

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