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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 1b

Dadas as funções:

b) 𝑥 2 − 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥   =   0

Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.

Passo 1

Opa, tudo de boa? Devemos descobrir os intervalos em que a função possui raízes, para isso devemos considerar o seguinte teorema:

𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0

Se em dois pontos a multiplicação das imagens das funções resultarem em um valor negativo, isso nos garante que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo 𝑎 , 𝑏 .

Passo 2

Atribuindo valores para 𝑥   e calculando 𝑓 𝑥 :

Observe que o único intervalo que satisfaz o nosso teorema é o intervalo 0.5,1 pois, temos uma mudança de sinal que vai garantir que 𝑓 0.5 × 𝑓 1 < 0 , logo existe uma raiz nesse intervalo, porém se observarmos bem, 𝑓 0 = 0 , logo temos uma raiz nesse ponto também.

Para verificar que a raiz é única nesse intervalo, precisaremos derivar a função e calcular seu valor numérico para 𝑥 = 0.5   𝑒   𝑥 = 1   , se os dois valores forem positivos ou os dois forem negativos, a raiz será única, caso contrário, teremos mais de uma raiz no intervalo.

Passo 3

Derivando então 𝑓 𝑥 , obtemos:

𝑓 ′ 𝑥 =   2 𝑥 − c o s c o s   𝑥  

Calculando 𝑓 ′ 0.5   𝑒   𝑓 ′ 1 :

𝑓 ′ 0.5 = 0.122 …   >   0

𝑓 ′ 1 = 1.459   >   0

Como os dois valores possuem o mesmo sinal, teremos uma única raiz no intervalo 0.5,1 .

Finalizamos nossa análise!

Resposta

A função possui uma única raiz que está no intervalo 0.5,1 e outra raiz para 𝑥 = 0   .

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